Проектирование погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

функции приобретают несколько иной вид. Практическая реализация данных формул представлена в примере 12, в котором также можно проследить последовательность проектирования, в данном случае, погрешностей. Проектирование производилось со 100 % вероятностью и с применением C-округления. Вообще говоря, данное сочетание имеет наибольшее распространение и поэтому очень часто используется в примерах.

	Пример 12
X0 = 108.1960067	X1 = 51.3241618	X2 = 24.35389605
	Z = X0 – X1 – X2 = 32.5179488..

δн = ±2 %

Количество точных знаков после знака дробности – 1

Xпр0 = 108.2	Xпр1 = 51.3	Xпр2 = 24.4
	Zпр = Xпр0 – Xпр1 – Xпр2 = 32.5
δ0max = 0.05 %	δ1max = 0.5 %	δ2max = 0.5 %
δ0min = –0.05 %	δ1min = –0.5 %	δ2min = –0.5 %
X0max = 108.26	X1max = 51.56	X2max = 24.53
X0min = 108.14	X1min = 51.04	X2min = 24.27

Zтmax = X0max – X1min – X2min = 32.95

Zтmin = X0min – X1max – X2max = 32.05

δzтmax

1

(X0max δ0max − X1min δ1min − X2min δ2min)

1.31%

Zтmax

δzтmin

1

(X0min δ0min − X1max δ1max − X2max δ2max)

−1.36%

Zтmin

Истинная погрешность окончательного результата

δz

32.5179488.. − 32.5

100%

0.055..%

32.5179488..

Данный пример показал, что особенных отличий по сравнению со сложением в проектировании при вычитании не наблюдается, оно производится по схожим принципам.

Иногда встречаются такие случаи, когда в результате проектирования при вычитании минимально возможная погрешность получается положительной, да к тому же больше максимально возможной. Это явление в основном наблюдается при смешанном вычислении, когда уменьшаемое и вычитаемое состоят из нескольких видов простейших вычислений, например, произведения нескольких чисел, а также в тех случаях, когда присутствуют много вычитаемых.

Zпр = 0.573 – 0.571 = 0.002

Zтmax = 0.578 – 0.571 = 0.007

31

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Zтmin = 0.573 – 0.576 = -0.003

В таких случаях необходимо сопоставлять между собой максимально и минимально возможные значения уменьшаемого и вычитаемого на предмет изменения знака у окончательного результата. Если он меняет свой знак, то нужно либо использовать более высокий числовой уровень, либо использовать систему С2, которая в таких случаях при переходе нулевой отметки (до которой погрешность как при С1, так и при С2 отрицательная) дает продолжение прироста отрицательной погрешности, который начинается с величины (–100) % при Z = 0, т.е. погрешность становится больше по модулю (–100) %.

Рассмотрев проектирование числовых характеристик при вычитании, можно сделать вывод, что вычитание является единственным видом простейших вычислений, при котором невозможно осуществить проектирование «на лету», а проектирование строится на основе формул определения числовых характеристик, поэтому вычитание является основным видом простейших вычислений, на основе которого построены все методы проектирования при смешанном вычислении, которые будут рассмотрены далее.

6. Проектирование числовых характеристик при смешанном вычислении

Как уже было много раз отмечено, в большинстве случаев необходимо стремиться к упрощению проектирования, чтобы его трудоемкость была во много раз меньше, чем трудоемкость самого исходного расчета по определению величины окончательного результата. Но, к сожалению, на скорость проектирования оказывают негативное влияние помимо вычитания и другие виды вычислений, такие как, степенная, логарифмическая и тригонометрические функции, а также различные уравнения, которые обладают очень сложными формулами определения числовых характеристик. Единственным исключением является первый вариант степенной функции (погрешностью обладает только основание степени), проектирование которого производится по тем же принципам и формулам, что и умножение, только вместо количества множителей (n) в формулах используется показатель степени (Y). Поэтому для ускорения проектирования рекомендуется пользоваться следующим методом. Максимальная, минимальная и средневероятная погрешность в этом случае будет равна:

δzт			f (xт) − f (xпр)	100%
			f (xт)		(64),

где f(xт) – максимальное, минимальное или средневероятное значение сложной функции, полученное при использовании определенного значения ее аргумента,

32

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

f(xпр) – приближенное значение сложной функции, полученное при использовании приближенного значения ее аргумента.

Примечания:

1.Следует иметь ввиду, что например, максимальное значение сложной функции может быть получено как при использовании максимального значения ее аргумента, так и минимального, все зависит от вида самой сложной функции,

2.Также бывают такие случаи, когда максимальное или минимальное значение сложной функции не может быть достигнуто при использовании максимального или минимального значения ее аргумента. Поэтому рекомендуется максимум и минимум функции определять либо графическим, либо аналитическим путем, после чего и вычисляются соответствующие характеристики сложной функции. Наглядным примером могут служить функции синуса или косинуса, обладающие периодичностью, вследствие чего и приходится прибегать к дополнительным вычислениям.

Последнее примечание можно наглядно проиллюстрировать графически на примере широко распространенной тригонометрической функции синуса (рис. 1).

Допустим, что в результате проектирования были получены приближенное значение аргумента функции (xпр), максимально возможное значение

(xтmax) и минимально возможное (xтmin), по которым были определены соответствующие значения функции. Иными словами можно сказать, что был по-

лучен возможный интервал изменения функции согласно той точности, с которой и производились вычисления чисел.

f(x)

1.4
				f (xт1)
1			f (xпр)
0.6					f (xтmax)
0.2		f (xтmin)
0.2
0.6
1						X
	1	0	1	2	3	4
		Рис. 1. Фрагмент синусоиды

33

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Чтобы определить минимально возможную погрешность окончательного результата, нужно воспользоваться следующей формулой:

δzтmin			f (xтmin) − f (xпр)	100%	(65)
			f (xтmin)

А вот чтобы получить максимально возможную погрешность, нужно воспользоваться не значением функции f (xтmax), а значением f (xт1), при котором функция синуса достигает максимального значения:

δzтmax			f (xт1) − f (xпр)	100%	(66)
			f (xт1)

По аналогии с погрешностью, которая находится по формуле (64), точность и отклонение также можно определить обычным способом:

					f (xпр)		(67)
Tzт					f (xт) 100%
∆ zт					f (xт) − f (xпр)		(68)

Таким образом, для того, чтобы найти, к примеру, какую-либо числовую характеристику сложной функции, необходимо проделать следующие операции:

1.Определение приближенного значения аргумента сложной функции,

2.Определение максимального, минимального или средневероятного значения числовой характеристики аргумента сложной функции,

3.Определение соответствующего значения аргумента сложной функции,

4.Определение значения сложной функции при приближенном значении ее аргумента,

5.Определение значения сложной функции при максимальном, минимальном или средневероятном значении ее аргумента или при других значениях ее аргумента, при которых достигаются соответствующие значения сложной функции,

6.Нахождение числовой характеристики по представленным формулам.

Проектирование погрешностей при использовании сложной функции рассмотрено в примере 13. В данном случае была использована тригономет-

34

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

рическая функция sin x, где x – произведение трех чисел, округляемых с помощью L-округления. Проектирование производилось со 100 % вероятностью.

Пример 13

X1 = 5.067895539

X2 = 0.0565773784

X3 = 0.862948857

sin (X) = sin (X1 · X2 · X3) = 0.24491479..

δн = 5 %

Номер числового уровня – 3

Nтз = 3

δmax = 1 %

X1пр = 5.06

X2пр = 0.0565

X3пр = 0.862

sin (Xпр) = sin (X1пр · X2пр · X3пр) = 0.24395033.. ≈ 0.2439

X1max = 5.112

X2max = 0.05708

X3max = 0.8708

X1min = 5.060

X2min = 0.05650

X3min = 0.8620

sin (Xmax) = sin (X1max · X2max · X3max) = 0.2514

sin (Xmin) = sin (X1min · X2min · X3min) = 0.2439

δтmax

sin (Xmax) − sin (Xпр)

100%

0.2514 − 0.2439

100%

2.99%

sin (Xmax)

0.2514

δтmin

sin (Xmin) − sin (Xпр)

100%

0.2439 − 0.2439

100%

0%

sin (Xmin)

0.2439

Представленный пример довольно понятен и не требует дополнительных разъяснений.

Помимо рассмотренного способа, существует еще альтернативный способ определения числовых характеристик сложной функции, рассмотренный в разделе 1.6.4 книги (1). В этом способе формулы числовых характеристик формируются на основе приращения или производной функции, поэтому он является несколько приближенным. На основе формул для фактических числовых характеристик очень легко строятся формулы и для теоретических, которые выглядят следующим образом:

δzтmax

d

f (xпр)

xтmax

δxтmax

(69)

dxпр

f (xтmax)

δzтmin

d

f (xпр)

xтmin

δxтmin

(70)

dxпр

f (xтmin)

δzтсв

d

f (xпр)

xтсв

δxтсв

(71)

f (xтсв)

dxпр

35

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Tzтmax

100% −

d

f (xпр)

xтmin

(100% − Txтmax )

(72)

f (xтmin)

dxпр

Tzтmin

100% −

d

f (xпр)

xтmax

(100% − Txтmin)

(73)

f (xтmax)

dxпр

Tzтсв

100% −

d

f (xпр)

xтсв

(100% − Txтсв)

(74)

f (xтсв)

dxпр

∆ zmax

d

f

(Xпр)

∆ xтmax

(75)

dXпр

∆ zmin

d

f

(Xпр)

∆ xтmin

(76)

dXпр

∆ zсв

d

f (Xпр)

∆ xтсв

(77)

dXпр

Представленные формулы не являются абсолютно точными, результаты, полученные по ним, немного отличаются от результатов, полученных по формулам истинных числовых характеристик. Причем это отличие носит не глобальный характер, как при умножении и делении, а локальный. Это означает, что при умножении и делении характер образуемого отклонения в каждом числовом уровне постоянен, его можно контролировать с помощью закона сложения погрешностей, а при использовании сложных функций характер этого отклонения непостоянен и зависит от вида самой функции. Например, при использовании одной функции оно проявляется при L-округлении, а при использовании другой – при R-округлении, причем уже другой величины. Поэтому учет образуемого отклонения является довольно сложной задачей и производить его в расчетах не рационально, гораздо проще использовать формулы истинных числовых характеристик. Таким образом, формулы (69)÷(77) имеют немного ограниченное применение, т.к. не гарантируется 100 % вероятность проектирования, хотя справедливости ради стоит отметить, что в подавляющем большинстве случаев истинная погрешность без

учета образуемого отклонения будет находиться в интервале (δzтmin;δzтmax). Широкое применение формул (69)÷(77) должно получить при использовании

50 % вероятности, т.к. небольшое отклонение от этой вероятности не имеет принципиального значения.

36

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Как и при обычном расчете числовых характеристик, при проектировании используются три принципа: блочный, формульный и блочноформульный. В результате этого сложные расчеты также делятся на блоки и подблоки, после чего определяются теоретические числовые характеристики. Способы деления на блоки и подблоки подробно описаны в (1). Необходимо только отметить, что все проектирование при смешанном вычислении строится на основе проектирования вычитания, редко сложения, поэтому блоки и подблоки формируются на основе этих видов вычислений.

Проектирование числовых характеристик при смешанном вычислении может осуществляться различными методами, которые подробно рассмотрены в (1), но тем не менее можно приближенно отследить определенную последовательность операций:

1.Установление нормативных числовых характеристик,

2.Установление номера числового уровня, с которым будет производиться вычисление. Обычно номер числового уровня на несколько единиц выше нормативного количества точных знаков,

3.Запись максимальных, минимальных или средневероятных числовых характеристик 1 и 2 рода выбранного числового уровня,

4.Определение приближенных значений уменьшаемого и вычитаемых (для вычитания) или слагаемых (для сложения),

5.Определение максимальных, минимальных или средневероятных числовых характеристик уменьшаемого и вычитаемых (для вычитания) или слагаемых (для сложения) с учетом числовых характеристик 1 и 2 рода, а также с учетом числовых характеристик, образуемых в результате выравнивания количества знаков у чисел,

6.Определение максимальных, минимальных или средневероятных значений уменьшаемого и вычитаемых (для вычитания) или слагаемых (для сложения),

7.Определение приближенного значения результата блока или подблока,

8.Определение максимального, минимального или средневероятного значения результата блока или подблока,

9.Определение максимальных, минимальных или средневероятных числовых характеристик результата блока или подблока,

10.Сравнение полученных значений числовых характеристик с нормативными.

-В случае не соблюдения условий (1)÷(3) следует повторить п. 1÷9, но с более высоким числовым уровнем,

-В противном случае можно переходить к проектированию следующего блока или подблока, используя также п. 1÷9,

11.После выполнения всех расчетов осуществляется запись окончательного результата.

Примечание: вышеописанные операции несколько условны, т.к. они могут модифицироваться в зависимости от вида метода проектирования.

37

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

2.1.7. Общие правила проектирования

В этой главе были изложены основы проектирования числовых характеристик. Тем не менее, некоторые аспекты либо совсем не упоминались, либо рассматривались вскользь. Поэтому для получения наиболее полной картины необходимо выделить некоторые общие правила проектирования:

-В большинстве случаев рекомендуется проектировать числовые характеристики со 100 % вероятностью, и лишь в особых случаях – с 50 % вероятностью,

-Более правильно производить вычисления с использованием числовых характеристик 2 рода, т.к. при этом вычисления становятся менее трудоемкими, к тому же в этом случае соблюдаются правила вычисления чисел. Возможно также использование небольших по величине числовых характеристик 2 рода (например, при использовании второго числового уровня можно оставлять три, четыре и более знаков в промежуточных результатах),

-При использовании первого и второго числового уровня рекомендуется учитывать влияние закона сложения погрешностей, а при использовании более высоких числовых уровней – нет,

-Начиная с третьего, редко второго числового уровня рекомендуется вместо точных неудобных величин теоретических погрешностей использовать приближенные «круглые» значения (Например, 1 % вместо

0.99009900.. %),

-При проектировании не рекомендуется использовать способы повышения точности проектирования, описанные в главе 2.6 книги (1), т.к. это приводит к увеличению времени проектирования. Исключением может являться использование вычислительной техники, а также необходимостью получить более точный результат проектирования,

-Рекомендуется проектировать числовые характеристики как по максимально, так и по минимально возможным значениям, по отдельности их проектировать не рекомендуется,

-При небольшом количестве вычислений, а также в тех случаях, когда требуется высокая точность проектирования, рекомендуется учитывать специфику чисел (если число полностью используется при вычислении, то в расчет нужно вводить его фактическую погрешность – 0 %, а не максимально возможную или средневероятную, характерную для выбранного числового уровня),

-При небольшом количестве вычислений, а также в тех случаях, когда требуется высокая точность проектирования, рекомендуется определять максимальные и минимальные числовые характеристики исходя из приближенных значений чисел, а при C-округлении можно учитывать знаки погрешностей чисел, если они заранее известны,

-В качестве приближенной оценки числовых характеристик окончательного результата при вычитании также, как и при сложении, можно пользо-

38

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

ваться следующей зависимостью: |δz| ≤ |δimax|. Это позволяет после приближенной оценки делать вывод о том, какой же числовой уровень использовать при проектировании, хотя и в первом приближении,

-При сложении, в некоторых случаях, необходимо проектировать по формулам (46)÷(54), как это делается при вычитании, т.к. не учет этих формул может привести к серьезному завышению проектируемых числовых характеристик. Такое проектирование рекомендуется выполнять при применении вычислительной техники, а также тогда, когда требуется высокая точность окончательного результата,

-В некоторых расчетах присутствуют так называемые "промежуточные развилки", например:

если А = 5.2÷6.3, то В = 2.5 если А = 6.3÷8.2, то В = 3.0 если А = 8.2÷10.0, то В = 3.5

Вэтом случае необходимо определять точные знаки. В данном примере нужно иметь два и более точных знаков, хотя можно обойтись и одним (Например, если А = 7, то В = 3.0; если же А = 5, то нужно увеличивать числовой уровень).

-Все проектирование подчиняется проектированию вычитания и иногда сложения. Сначала проектируют первый подблок (сложение или вычитание), т.е. проектируют уменьшаемое и вычитаемые (при вычитании) или слагаемые (при сложении), содержащие деление, умножение и иногда сложение, а затем проектируют результат по данному подблоку по методам проектирования числовых характеристик при вычитании или сложении, записывают результат проектирования, после чего проектируют второй подблок таким же образом. Последовательность выбора подблоков определяется стандартными правилами математических вычислений: если подблоки располагаются параллельно, то можно проектировать с любого подблока, если последовательно – то с первого подблока (вычитания или сложения). Таким образом, проектируя все подблоки и блоки, мы подходим к проектированию последнего блока, запроектировав который, получаем окончательный результат проектирования числовых характеристик.

Перечисленные правила проектирования являются как бы дополнением к тем правилам и основам проектирования, которые были рассмотрены в данной статье. Причем большинство из этих правил направлены на повышение точности проектирования.

Данная статья является ни чем иным, как вводным курсом по проектированию числовых характеристик, более подробное знакомство представлено в (1), где рассмотрены три основные методы проектирования:

1.Zа-проектирование,

2.Проектирование по погрешности и точности,

3.Z-проектирование.

39

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Список литературы

1.Галан «Теория погрешностей», Самара, 2004,

2.Галан «Основы Теории погрешностей», Academia.edu,

3.Галан «Числовые уровни», Academia.edu,

4.Галан «Программа-алгоритм: Проектирование погрешностей и точностей», Academia.edu

40