Граничные условия

Рассмотрим границу двух проводящих сред, прово­димости которых равны и у₂. Построим цилиндрическую поверхность 5 так, как показано на рисунке ниже.

Ток сквозь эту поверхность равен нулю, так как она замкнутая. Так как ток равен потоку вектора плотности тока, то

Если высоту цилиндра уменьшить так, чтобы площадки ΔS₁=ΔS₂совпали с граничной поверхностью, и учиты­вая, что для небольшихΔSвектор δ можно считать одина­ковым во всех точках этих площадок, получим:

Ток сквозь боковую поверхность при этом станет рав­ным нулю. Сокращая на ΔS, получим граничное условие.

Нормальная составляющая вектора плотности тока на границе двух сред непрерывна.

Если на границе этих сред нет сторонних сил, то каса­тельные составляющие вектора напряженности электриче­ского поля также должны быть непрерывны у границы .

Если векторы δ и Еобразуют с нормалью к границе угол α₁в первой среде и угол α₂— во второй , то

Так как

то

Если в области рассчитываемого поля есть зоны с различными магнитными проницаемостями (ферромагн. сердечник и воздух).

Как будут соотношение напряженности, когда частица находится на середине раздела двух сред.

К дополнительным условиям для решения дифференцируемого уравнения относятся граничные условия.

Метод зеркальных отображений. При расчете магнитного поля, когда форма границ раздела – плоскость магнитного поля есть в двух плоскостях.

2. Расчет электрическое поле постоянного тока Коаксиальные линии

Необходимость применения очень высоких частот (не ниже гц) при передаче энергии по волноводам ограничивает их применение. Кроме того, как было показано выше, поперечная электромагнитная волна ТЕМ передаваться по волноводу не может. Поэтому для передачи сигналов в широком диапазоне частот (от самых малых, до частот порядка 10⁶гц) пользуются коаксиальным кабелем. Он позволяет передавать сигналы без помех, при сравнительно небольших потерях. По кабелю можно передавать телевизионные программы на большие расстояния; устанавливать одновременно сотни телефонных связей. Коаксиальным кабелем пользуются в радиолокационных установках. Так же как и волновод, кабель хорошо защищен от внешних помех. Все перечисленные положительные качества кабеля обеспечиваются его конструкцией.

Коаксиальный кабель состоит из двух проводников: трубы круглого сечения и цилиндрического провода. Про-водники располагаются концентрически и изолируются друг от друга высококачественным диэлектриком (полиэтилен, полистирол и др.)

При исследовании процессов в кабеле будем считать его конструкцию совершенной, т. е. радиус внутреннего про-водаа и внутренний диаметр трубы 2b постоянными по всей длине кабеля, а диэлектрик, заполняющий трубу, однородным, с проницаемостьюи проводимостью

Вначале примем сопротивление проводников кабеля равным нулю. Ось zцилиндрической системы координат направим по оси внутреннего провода. Тогда амплитуды векторовЕ иН не будут зависеть от координатыz. При гармоническом законе изменения векторов поля во времени каждую из проекцийЕ иНможно представить, например, следующим образом:

Для того чтобы волна распространялась по кабелю без затухания, коэффициент распространения Г, пока еще неизвестный, должен быть мнимым.

Так как поле обладает цилиндрической симметрией, то у вектора будет только одна проекция . Кроме того, в выражения проекций векторов поля коорди-натане входит и, следовательно, их производные поравны нулю.

Выясним, может ли по кабелю при заданных условиях распространяться поперечная электромагнитная волна ТЕМ, для которой E_z=0, H_z=0.

Уравнения Максвелла в рассматриваемом случае примут вид

После умножения первых двух уравнений и деления на , получим:

Коэффициент распространения получился мнимым. Следовательно, волна ТЕМ может распространяться без затухания при любом значении частоты

Чтобы найти постоянную интегрирования, зададимся комплексной амплитудойтока, проходящего по внутреннему проводнику. Тогда по закону полного тока

Мгновенные значения поля векторов следующие:

Векторы поля Е и Н совпадают по фазе. В любой точке поля они взаимно перпендикулярны. Их отношение - число действительное, равное

В любом объеме Vэнергия электрического поля равна энергии магнитного поля.

Напряжение между проводниками кабеля

Так как кабель без потерь, то ток и напряжение совпадают по фазе. Кроме того , мы рассматривали режим одной бегущей волны (кабель без отражения), поэтому

Выше были определены индуктивность и емкость единицы длины идеального коаксиального кабеля :

Если разделить амплитуду напряжения на амплитуду тока, то их отношение будет таким же.

Если проводники кабеля имеют конечное сопротивление , амплитуда векторов поля будет затухать в направлении распространения . Коэффициент распространения будет комплексной величиной :

Сделав такие же предположения , как и при исследовании потерь в цилиндрическом волноводе, можно показать, что коэффициент затухания

На рис. приведены кривые a=f (w) для коаксиального кабеля и для волновода.

Помимо волны ТЕМ в коаксиальном кабеле могут распространяться и волны других типов. Рассмотрим условия, при котором в идеальном кабеле может распространяться волна ТМ. Векторы поля в этом случае будут иметь проекции и уравнения Максвелла примут вид:

Так как при r=aиr=bпроекциядолжна равняться нулю ( проводники не имеют сопротивления), то

В диапазоне высоких частот аргумент функций Бесселя получается достаточно большим и можно воспользоваться асимптотическими значениями функций:

Подставив, получим:

Равенство это справедливо при условии

Для того, чтобы волна ТМ распространялась по кабелю без затухания, коэффициент распространения должен быть мнимым, что возможно только при условии

Следовательно, как и в волноводе, и в данном случае имеется придельная частота Распространение возможно только при частотах выше критической .

Аналогичные соотношения получаются и для волн ТЕ.

Как правило, передача энергии по кабелю осуществляется волной ТЕМ. В кабеле могут возникнуть волны и других типов. Подбирая размеры aиb, можно довести до такой величины, чтобы волны ТЕ и ТМ не могли распространяться. Однако при этом нужно иметь в виду то обстоятельство, что при уменьшении толщины слоя диэлектрика (b-a) увеличивается напряженность электрического поля и диэлектрик может быть пробит.