Точность оценки долей

Если бы в наших руках были данные по всем членам совокупности, то не было бы никаких проблем связанных с точностью оценок. Однако нам всегда приходится довольствоваться ограниченной выборкой. Поэтому возникает вопрос, насколько точно доли в выборке соответствуют долям в совокупности.

Рис. 5.4. А. Из совокупности марсиан, среди которых 150 зеленых и 50 розовых, извлекли случайную выборку из 10 особей. В выборку попало 5 зеленых и 5 розовых марсиан, на рисунке они помечены черным. Б. В таком виде данные предстанут перед исследователем, который не может наблюдать всю совокупность и вынужден судить о ней по выборке. Оценка доли розовых марсиан p = 5/10 = 0,5.

Как любая выборочная оценка, оценка доли (обозначим ее p^{^}) отражает долю р в совокупности, но отклоняется от нее в силу случайности. Рассмотрим теперь не совокупность марсиан, а совокупность всех значений p^{^} , вычисленных по выборкам объемом 10 каждая. (Из совокупности в 200 членов можно получить более 10⁶ таких выборок). По аналогии со стандартной ошибкой среднего найдем стандартную ошибку доли. Для этого нужно охарактеризовать разброс выборочных оценок доли, то есть рассчитать стандартное отклонение совокупности p^{^}.

где σ _p^ — стандартная ошибка доли, σ — стандартное отклонение, n — объем выборки.

Заменив в приведенной формуле истинное значение доли ее оценкой p^{^} , получим оценку стандартной ошибки доли:

Из центральной предельной теоремы вытекает, что при достаточно большом объеме выборки выборочная оценка p^{^} приближенно подчиняется нормальному распределению, имеющему среднее р и стандартное отклонение σ_ˆp . Однако при значениях р, близких к 0 или 1, и при малом объеме выборки это не так. При какой численности выборки можно пользоваться приведенным способом оценки? Математическая статистика утверждает, что нормальное распределение служит хорошим приближением, если np^{^} и n(1-p^{^}) превосходят 5. Напомним, что примерно 95% всех членов нормально распределенной совокупности находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего. Поэтому если перечисленные условия соблюдены, то с вероятностью 95% можно утверждать, что истинное значение р лежит в пределах np^{^} и n(1-p^{^}).

Вернемся на минуту к сравнению операционной летальности при галотановой и морфиновой анестезии. Напомним, что при использовании галотана летальность составила 13,1% (численность группы — 61 больной), а при использовании морфина —

14,9% (численность группы — 67 больных). Стандартная ошибка доли для группы

Если учесть, что различие в летальности составило лишь 2%, то маловероятно, чтобы оно было обусловлено чем-нибудь, кроме случайного характера выборки.

Перечислим те предпосылки, на которых основан излагаемый подход. Мы изучаем то, что в статистике принято называть независимыми испытаниями Бернулли. Эти испытания обладают следующими свойствами.

• Каждое отдельное испытание имеет ровно два возможных взаимно исключающих исхода.

• Вероятность данного исхода одна и та же в любом испытании.

• Все испытания независимы друг от друга.

21