- •2.3 Функция не является периодичной
- •2.5 Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
- •2.8 Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
- •2) Проверим функцию на четность/нечетность
- •3.3 Функция не является периодичной
- •3.4 Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
- •3.8 Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
3.8 Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Производной на каждом из четырех промежутков:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:
4)
Найдем область определения функции.
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Найдем предел слева для
Найдем предел справа для
Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Таким образом функция имеет горизонтальную асимптоту при и .
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция пересекается с осью абсцисс в точке .
Определим промежутки знакопостоянства.
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точка является точкой перегиба функции. В этой точке функция принимает значение:
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.4.
0 |
|||||||
+ |
+ |
0 |
+ |
|
+ |
||
Точка минимума |
Пересечение с осью Ох |
Вертикальная асимптота |
|||||
|
Горизонтальная асимптота |
|
|
Горизонтальная асимптота |
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Так как область определения , то функция не имеет точек разрыва.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет,
Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Таким образом заданная функция имеет только одну горизонтальную асимптоту . При этом при функция стремится к .
Определим точки пересечения функции с осями абсцисс (Оx) и ординат (Оy)
Функция пересекается с осями в точке .
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при .
Максимум функции:
Минимум функции
В этих точках функция принимает значения:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точки и являются точками перегиба функции. В этих точках функция принимает значение:
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.5.
|
|
|
|
|
|||||
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
+ |
||||
Точка перегиба. |
Точка максимума |
Точка перегиба |
Пересечение с осями Ох и Oy. Точка минимума |
||||||
|
Горизонтальная асимптота |
|
|
|
|
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Найдем предел слева для
Найдем предел справа для
Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.
Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ). При функция имеет горизонтальную асимптоту . При асимптот нет и функция стремится к .
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция не пересекается с осью абсцисс.
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при .
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точек перегиба функции нет.
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.6.
1 |
|||||
- |
|
+ |
+ |
||
Вертикальная асимптота |
Точка минимума |
||||
|
Горизонтальная асимптота |
|
|
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Так как область определения , то функция не имеет точек разрыва.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет,
Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Таким образом заданная функция имеет только одну горизонтальную асимптоту . При этом при функция стремится к .
Определим точки пересечения функции с осями абсцисс (Оx) и ординат (Оy)
Функция пересекается с осями в точках и .
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при .
Максимум функции:
Минимум функции
В этих точках функция принимает значения:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точки и являются точками перегиба функции. В этих точках функция принимает значение:
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.7.
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
||||
+ |
0,597 |
+ |
0,840 |
+ |
0 |
- |
-0,438 |
- |
0 |
+ |
|
Точка перегиба |
Точка максимума |
Пересечение с осями Ох и Oy. Точка перегиба |
Точка минимума |
Пересечение с осью Ох |
|||||||
|
Горизонтальная асимптота
|
|
|
|
|
|
Найдем область определения функции:
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является четной функцией, так как выполняется условия четности:
Функция является периодичной (период равен )
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Найдем предел слева для
Найдем предел справа для
В точках , () функция терпит разрывы второго рода.
Также , являются вертикальными асимптотами или упростив
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция пересекается с осью абсцисс в точках .
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Функция пересекается с осью ординат в точке
Определим промежутки знакопостоянства.
Так как функция периодичная рассмотрим участок графика
Определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция на рассмотренном промежутке расположена ниже оси абсцисс при
Функция расположена ниже оси абсцисс при
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция возрастает при
и убывает при
Точки являются точками максимума функции.
В этих точках функция принимает значение:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на промежутке:
При :
Таким образом функция выпуклая вверх при
Точек перегиба функции нет.
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика. Данные приведены для одного периода.
Таблица 2.8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вертикальная асимптота |
Пересечение с осями Ох и Оу. Точка максимума |
Вертикальная асимптота |
|
|||
|
|
||||||
|
Не входит в область определения |
|
|
Не входит в область определения |
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является нечетной функцией, так как выполняются условие нечетности:
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Найдем предел слева для
Найдем предел справа для
Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Так как оба предела не являются конечными, то при и горизонтальных асимптот не существует.
Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид
Функция имеет наклонную асимптоту при .
Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид
Функция имеет наклонную асимптоту при .
Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ).
При и функция имеет наклонную асимптоту .
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция пересекается с осью абсцисс в точках и .
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из четырех промежутков:
При :
при :
при :
при :
Функция расположена выше оси абсцисс при и ниже при .
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция возрастает при . Точек максимума и минимума нет.
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точек перегиба функции нет.
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.9.
1 |
|||||||
- |
0 |
+ |
|
- |
0 |
+ |
|
Точка минимума |
Вертикальная асимптота |
Пересечение с осью Ох |
|||||
|
Наклонная асимптота |
|
|
Наклонная асимптота |
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Найдем предел слева для
Найдем предел справа для
Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.
Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ). При функция имеет горизонтальную асимптоту . При асимптот нет и функция стремится к .
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция не пересекается с осью абсцисс.
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция возрастает при и убывает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция выпуклая вниз (вогнутая) при
Точек перегиба функции нет.
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.10
2 |
|||||
+ |
|
+ |
+ |
||
Вертикальная асимптота |
Точка минимума |
||||
|
Горизонтальная асимптота |
|
|
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Заданная функция не имеет точек разрыва.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.
Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция пересекается с осью абсцисс в точке .
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Функция пересекается с осью ординат в точке .
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при .
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой максимума функции. В этой точке функция принимает значение:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точка является точкой перегиба функции.
В этой точке функция принимает значение:
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.11
1 |
2 |
||||||
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
|||
Пересечение с осями Ох и Оу |
Точка максимума |
Точка перегиба |
|||||
|
|
|
|
Горизонтальная асимптота |
Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:
Область определения
Проверим функцию на четность/нечетность
Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:
и
Функция не является периодичной
Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот
Заданная функция не имеет точек разрыва.
Проверим наличие горизонтальных асимптот при и
Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.
Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид
Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.
Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)
Функция пересекается с осью абсцисс в точке .
Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)
Функция пересекается с осью ординат в точке .
Определим промежутки знакопостоянства.
Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:
При :
при :
Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при
Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции
Определим знак производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция убывает при и возрастает при .
Точка минимума функции: .
Точка максимума функции: .
В этих точках функция принимает значения:
Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции
Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:
При :
при :
при :
Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при .
Точки и являются точками перегиба функции.
В этих точках функция принимает значения:
Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.
Таблица 2.12
|
|
|
2 |
|
|
||||
+ |
0 |
+ |
+ |
+ |
+ |
||||
Пересечение с осями Ох и Оу. Точка максимума |
Точка перегиба |
Точка минимума |
Точка перегиба |
||||||
|
|
|
|
|
Горизонтальная асимптота |