- •Введение
- •Глава 1 знакомство с matlab и простейшие вычисления
- •1.1. Рабочая среда matlab
- •1.2. Арифметические вычисления
- •1.3. Вещественные числа
- •1.4. Форматы вывода результата вычислений
- •1.5 Комплексные числа
- •1.6 Векторы и матрицы
- •1.7 Встроенные функции. Функции, задаваемые пользователем
- •1.8 Сообщения об ошибках и их исправление
- •1.9 Просмотр и сохранение переменных
- •1.10 Матричные и поэлементные операции над векторами и матрицами
- •1.11 Решение систем линейных уравнений
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2 работа с массивами
- •2.1 Создание векторов и матриц
- •2.2 Применение команд обработки данных к векторам и матрицам
- •2.3 Создание специальных матриц
- •2.4 Создание новых массивов на основе существующих
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3 м-файлы
- •3.1 Файл-программы
- •3.2 Файл-функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 4 программирование
- •4.1 Операторы отношения и логические операторы
- •4.2 Операторы цикла
- •4.3 Операторы ветвления
- •4.4 Оператор переключения switch
- •4.5 Оператор прерывания цикла break
- •4.6 Пример сравнения быстродействия матричных и скалярных операций
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 5 высокоуровневая графика
- •5.1 2D графика
- •5.1.1 Графики в линейном масштабе
- •5.2 Специальные виды 2d - графиков
- •5.2.1 Представление функции в виде дискретных отсчетов
- •5.2.2 Лестничные графики
- •5.2.3 Графики с указанием погрешности
- •5.2.4 Графики в логарифмическом и полулогарифмическом масштабах
- •5.2.5 Графики параметрических функций
- •5.3 3D графика
- •5.3.1 Линейчатые поверхности
- •5.3.2 Каркасные поверхности
- •5.3.3 Контурные графики
- •5.3.4 Сплошная освещенная поверхность
- •5.4.2 Сохранение и экспорт графиков
- •5.4.3 Анимация
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 6 прикладная численная математика
- •6.1 Операции с полиномами
- •6.2 Решение уравнений и их систем
- •6.3 Минимизация функции одной переменной
- •6.4 Минимизация функции нескольких переменных
- •6.5 Вычисление определенных интегралов
- •6.6 Решение дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 7 символьные вычисления
- •7.1 Символьные переменные, константы и выражения
- •7.2 Вычисления с использованием арифметики произвольной точности
- •7.3 Команды упрощения выражений – simplify, simple
- •7.4 Команда расширения выражений – expand
- •7.5 Разложение выражений на простые множители – команда factor
- •7.6 Приведение подобных членов – команда collect
- •7.7 Обеспечение подстановок – команда subs
- •7.8 Вычисление пределов – команда limit
- •7.9 Вычисление производных – команда diff
- •7.10 Вычисление интегралов – команда int
- •7.11 Разложение в ряд Тейлора – команда taylor
- •7.12 Вычисление суммы ряда – команда symsum
- •7.13 Решение уравнений и их систем – команда solve
- •7.14 Решение дифференциальных уравнений – команда dsolve
- •7.15 Прямое и обратное преобразования Лапласа – команды laplace, ilaplace
- •7.16 Графики символьных функций – команды ezplot, ezpolar
- •7.17 Прямой доступ к ядру системы Maple – команда maple
- •7.18 Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей
- •7.20 Решение неравенств и систем неравенств
- •7.21 Разложение в ряд Тейлора функции нескольких переменных
- •7.22 Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •7.23 Решение тригонометрических уравнений
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложения Приложение 1. Справочная система matlab
- •Приложение 2. Знакомство с пакетами расширения системы matlab
- •Приложение 3. Задания для самостоятельной работы
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Литература
Вопросы для самопроверки
1. Как осуществляется ввод полиномов в MATLAB
2. Какие команды осуществляют умножение, деление полиномов
3. Какая команда вычисляет корни полинома
4. Какая команда осуществляет построение полинома по заданному вектору его корней
5. Какая команда вычисляет значение полинома по заданному значению его аргумента
6. Каким образом можно задать первый входной аргумент команд fzero и fsolve
7. Какая команда MATLAB находит минимум функции одной переменной
8. Какая команда MATLAB находит минимум функции нескольких переменных
9. Какие команды вычисляют значения определенных интегралов
10. Какие команды (солверы) возвращают численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Глава 7 символьные вычисления
В предыдущих главах рассматривались численные процедуры MATLAB, выполняемые с аргументами, заданными в виде чисел или числовых массивов. В состав MATLAB входит пакет Symbolic Math ToolBox, который добавил к системе возможность символьных вычислений. Помимо типовых аналитических вычислений (таких, как упрощение математических выражений, подстановка, нахождение пределов, дифференцирование, интегрирование, интегральные преобразования, получение решений уравнений и систем уравнений, включая дифференциальные и т. д.), пакет Symbolic позволяет реализовывать арифметические операции с любой точностью. Функции пакета Symbolic реализуют интерфейс между средой MATLAB и ядром Maple системы аналитических вычислений или системы компьютерной алгебры канадского университета Waterloo, причем работа в MATLAB не требует установки Maple. Система Maple в своем ядре и в расширениях имеет около 3000 функций. Система MATLAB с пакетом Symbolic, включающим в себя около сотни символьных команд и функций, намного уступает Maple по их количеству. Однако пользователь, имеющий опыт работы в Maple, может напрямую обращаться ко всем командам и процедурам этой системы (кроме графических), написанным на встроенном языке Maple (см. раздел 7.17). Способы получения справочной информации по пакету Symbolic рассмотрены в приложении 1.
7.1 Символьные переменные, константы и выражения
Поскольку переменные системы MATLAB по умолчанию не определены и традиционно задаются как векторные, матричные, числовые и т. д., т. е. не имеющие отношения к символьной математике, для реализации символьных вычислений нужно прежде всего позаботиться о создании специальных символьных переменных.
Для создания символьных переменных или объектов используется команда sym.
Например, команда
>>x=sym('x')
x =
x
возвращает символьную переменную с именем 'x' и записывает результат в х.
Команда x=sym('x','real') дополнительно определяет x как вещественную переменную. Аналогично x=sym('x','positive') определяет x как положительную (вещественную) переменную, а x=sym('x','unreal') – как чисто формальную переменную (т. е. не обладающую никакими дополнительными свойствами).
Для создания группы символьных объектов служит команда syms.
Команда
>> syms a b c
создает символьные переменные с именами a, b, c.
Команда
>> Pi=sym('pi');
создает символьное число Pi = π, не обладающее погрешностью представления числа π в формате с плавающей запятой. Результаты операций с символьным Pi выражаются не в числовой, а в символьной форме. Следовательно, пакет Symbolic позволяет получить точные значения тригонометрических функций (и их рациональных комбинаций) от аргумента π в виде выражений, включающих квадратные корни из рациональных чисел, если такие выражения существуют и могут быть найдены системой. Например, точное значение sin равно
>> S=sin(Pi/5)
S =
1/4*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)
Символьное выражение S выведено в командное окно в одну строку.
Команда pretty(S) выводит в командное окно символьное выражение S в формате близком к математическому:
>> pretty(S)
1/2 1/2 1/2
1/4 2 (5 - 5 )
Теперь очевидно, что
sin = .
Символьное выражение можно создать при помощи команды sym, входным аргументом которой является строка с выражением, заключенным в апострофы.
Например,
>> F=sym('x+y')
F =
x+y
Команда syms без аргументов выводит список символьных объектов, имеющихся в рабочем пространстве.
При запросе о наличии символьных переменных в памяти после выполнения предыдущего примера
>> syms
'F'
получен ответ 'F', т. е. входящие в выражение переменные x и y не являются символьными. Их нельзя использовать в качестве аргументов в дальнейших символьных вычислениях.
Изменим рассмотренный выше ввод символьного выражения F следующим образом:
>> syms x y
>> F=x+y
F =
x+y
>> syms
'F' 'x' 'y'
Теперь переменные x и y вначале получили статус символьных, а сконструированное из них выражение F приобрело статус символьного автоматически.