7.18 Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей
При нахождении (вручную) неопределенного интеграла
dx
возникает задача разложения подынтегральной дроби
на сумму простейших дробей. Получить такое разложение непосредственно в MATLAB нельзя. Следует использовать команду convert (с формой разложения parfrac) системы Maple:
>> maple('convert((x^2+2)^2*(x^3+3)/(x+1)/(x^2+1)^2,parfrac,x)')
ans =
x^2-x+3+9/2/(x+1)-1/2*(-7+9*x)/(x^2+1)-(-1+2*x)/(x^2+1)^2
>> pretty(sym(ans))
2 1 -7 + 9 x -1 + 2 x
x - x + 3 + 9/2 ----- - 1/2 ---------- - -----------
1 + x 2 2 2
1 + x (1 + x )
т.е.
= x2 - x+3+ - - .
7.20 Решение неравенств и систем неравенств
Для решения неравенств и систем неравенств в Mapleслужит командаsolve.
Пример:
Решить неравенство
> 2.
Решение:
>> maple('solve((x-2)/(x+3)>2,{x})')
ans =
{-8 < x, x < -3}
Значит, - 8 < x < - 3 – решение неравенства.
Пример:
Решить систему неравенств
Решение:
>> maple('solve({(x-2)/(x+3)<=51,sqrt(x)*(sqrt(x)-1)<10,10*x^2+4*x>=69},x)')
ans =
{RootOf(-69+10*_Z^2+4*_Z,2.4343879744638981326796776750121) <= x, x < RootOf(-21*_Z+_Z^2+100,13.701562118716424343244108837311)}
>> vpa(ans,4)
ans =
{2.434 <= x, x < 13.70}
Таким образом, 2,434 ≤ x < 13,70 – приближенное решение системы неравенств (с точностью до 4 - х значащих цифр). Точное решение имеет вид
≤ x < .
7.21 Разложение в ряд Тейлора функции нескольких переменных
Для получения разложений аналитических функций нескольких переменных в ряд Тейлора (и Маклорена) в Maple служит команда mtaylor.
Пример:
Разложить функцию f(x,y) = sin(x2+y2)в ряд Маклорена (по степенямx, y) до8- й степени.
Решение:
>> maple('readlib(mtaylor):mtaylor(sin(x^2+y^2),[x,y],8)')
ans =
x^2+y^2-1/6*x^6-1/2*y^2*x^4-1/2*y^4*x^2-1/6*y^6
Пример:
Найти разложение функции f(x,y) = sin(x2+y2)в ряд Тейлора по степенямx - 1, yдо3- й степени.
Решение:
>> maple('readlib(mtaylor):mtaylor(sin(x^2+y^2),[x=1,y],3)')
ans =
sin(1)+2*cos(1)*(x-1)+(-2*sin(1)+cos(1))*(x-1)^2+cos(1)*y^2
7.22 Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
Пример:
Решить дифференциальное уравнение y' = cosx+ey с начальным условием y(0) = 1.
Решение:
Обращение к dsolveвозвращает сообщение о том, что решение не найдено:
>> dsolve('Dy=cos(x)+exp(y)','y(0)=1','x')
ans =
[ empty sym ]
Команда dsolve не нашла аналитического решения в MATLAB. Известно, что решения этого дифференциального уравнения в аналитическом виде не существует. Найти разложение решения в степенной ряд (до 6-й степени по умолчанию) можно с помощью команды dsolve системы Maple.
>> maple('dsolve({diff(y(x),x)=cos(x)+exp(y(x)),y(0)=1},y(x),series)')
ans =
y(x) = series(1+(1+exp(1))*x+(1/2*exp(1)*(1+exp(1)))*x^2+(-1/6+1/3*exp(1)*(3/2*exp(1)+exp(1)^2+1/2))*x^3+(1/2*exp(1)^3+1/4*exp(1)^4+7/24*exp(1)^2)*x^4+(1/2*exp(1)^4+1/5*exp(1)^5+5/12*exp(1)^3+1/120-1/40*exp(1)+1/12*exp(1)^2)*x^5+O(x^6),x,6)
Имеется возможность управлять порядком разложения. Найдем разложение решения в степенной ряд до 3 -й степени:
>> maple('Order:=3;dsolve({diff(y(x),x)=cos(x)+exp(y(x)),y(0)=1},y(x),series)')
ans =
Order := 3y(x) = series(1+(1+exp(1))*x+(1/2*exp(1)*(1+exp(1)))*x^2+O(x^3),x,3)