4.9. Независимые и доминирующие множества

Число доминирования, число независимости, кликовое число  эти числа и связанные с ними подмножества вершин описывают важные структурные свойства графа и имеют разнообразные непосредственные приложения при ведении проектного планирования исследовательских работ, в кластерном анализе, параллельных вычислениях на ЭВМ, при размещении предприятий обслуживания, а также источников и потребителей в энергосистемах. Ядро  множество вершин, которое является одновременно минимальным доминирующим и максимальным независимым, имеет важное значение в теории игр.

Множество вершин называется независимым (внутренне устойчивым множеством), если никакие две из них не смежны. Например, для графа, изображенного на рис. 4.27, независимыми являются множества вершин: {x₇, x₈, x₂}, {x₃, x₁}, {x₇, x₈, x₂, x₅}. Когда не могут возникнуть недоразумения, эти множества будут называться просто независимыми множествами (вместо независимые множества вершин).

Рис. 4.27

Независимое множество называется максимальным, если нет другого независимого множества, в которое оно бы входило. Для графа, изображенного на рис. 4.27, множество {x₇, x₈, x₂, x₅} является максимальным, а {x₇, x₈, x₂} таковым не является. Следует отметить, что число элементов (вершин) в разных максимальных множествах, как следует из приведенного примера, не обязательно одинаковое.

Если Q является семейством всех максимальных независимых множеств G, то число

называется числом независимости графа G, а множество S^*, на котором этот максимум достигается, называется наибольшим независимым множеством. Для графа на рис. 4.27 семейство максимальных независимых множеств таково: {x₇, x₈, x₂, x₅}, {x₁, x₃, x₇}, {x₂, x₄, x₈}, {x₆, x₄}, {x₆, x₃},{x₁, x₅, x₇}, {x₁, x₄}, {x₃, x₇, x₈}.

Наибольшее из них множество имеет 4 элемента и, следовательно, . Множество {x₇, x₈, x₂, x₅} является наибольшим независимым множеством.

Пример. Пусть имеется n проектов, которые должны быть выполнены. Допустим, что для выполнения проекта x_i требуется некоторое подмножество R_i наличных ресурсов из множества{1, 2, … , p}. Предположим, что каждый проект, задаваемый совокупностью средств, необходимых для его реализации, может быть выполнен за один и тот же промежуток времени. Построим граф G, каждая вершина которого соответствует некоторому проекту, а ребро (x_i, x_j) – наличию общих средств у проектов x_i и x_j, т. е. условию . Максимальное независимое множество вершин графа G представляет тогда максимальное множество проектов, которое можно выполнить одновременно за один и тот же промежуток времени.

Реальная ситуация соответствует динамической системе, в которой происходит постоянное обновление проектов через определенный промежуток времени. Поэтому каждый раз надо заново повторять процедуру построения максимального независимого множества в соответствующем графа G. В практических ситуациях бывает весьма не просто выполнить множество проектов, соответствующих максимальному независимому множеству на данном отрезке времени, поскольку исполнение некоторых проектов может быть по каким-то причинам отложено. Тогда лучший способ действия состоит в присвоении каждому проекту (вершине) x_i некоторого штрафа р_i, который увеличивается с ростом времени отсрочки в исполнении проекта. В каждый расчетный момент времени надо выбирать из семейства максимальных независимых множеств такое множество, которое максимизирует некоторую функцию штрафа на вершинах, содержащихся в выбранном множестве.

Множество ребер называется независимым, если никакие два из них не смежны. Наибольшее число ребер в независимом множестве ребер называется реберным числом независимости и обозначается β₁. Для полного графа с четным числом вершин β₁(К_2n)=n, для полного графа с нечетным числом вершин β₁(К_2n+1)=n–1. Независимое множество ребер называется также паросочетанием.

Независимость тесно связана с понятием доминирования.

Для графа G=(X,V) множество вершин D⊆Х называется доминирующим множеством (внешне устойчивым множеством), если, то есть для каждой вершины x_j∉D существует дуга, идущая из некоторой вершины x_i∈D в x_j.

Доминирующее множество называется минимальным, если его подмножество не является доминирующим. Как и в случае максимальных независимых множеств, в графе может быть несколько минимальных доминирующих множеств, и они не обязательно содержат одинаковое число вершин. Доминирующее множество называется наименьшим, если число элементов в нем минимально. К задачам такого типа относят, например, следующие:

1. Размещение телевизионных или радиопередающих станций на некоторой территории.

2. Размещение центров торговли обслуживающих некоторые районы.

Теорема 4.9.1. Независимое множество вершин является максимальным тогда и только тогда, когда оно является доминирующим.