- •Тема 1. Неопределеный интеграл
- •1.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов
- •Свойства неопределенного интеграла
- •1.2. Основные методы интегрирования
- •Задание 1
- •Тема 2. Определеный интеграл и его приложения
- •Задание 2
- •Тема 3. Несобственные интегралы
- •Задание 3
- •Тема 4. Двойной интеграл
- •Основные свойства двойного интеграла
- •Правила вычисления двойных интегралов
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Тема 5. Дифференциальные уравнения
- •5.1. Дифференциальные уравнения (ду). Основные понятия и определения.
- •5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •5.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •5.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Тема 6. Ряды
- •6.1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости.
- •6.1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
- •1. Признаки сравнения.
- •6.3. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
- •6.4. Степенные ряды
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Литература
Основные свойства двойного интеграла
1. .
2. .
3. , где – площадь области интегрирования .
4. Если область интегрирования разбита на две области и , то
=+.
5. Оценка двойного интеграла. Если , то
.
Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
1. Область интегрирования ограничена слева и справа прямыми , , а снизу и сверху – непрерывными кривыми , , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис. 5).
Y
D
c X
Рис. 5.
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
,
причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянным.
2. Область интегрирования ограничена снизу и сверху прямыми , , а слева и справа – непрерывными кривыми , , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 6).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
,
причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается постоянным.
Правые части указанных формул называются повторными (или двукратными) интегралами
Y
d
с
X
Рис. 6.
В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.
Пример 1. Вычислить , где область ограничена линиями .
Решение. Построим область . Из рисунка видно, что она принадлежит к первому виду.
Находим
.
Y
0 X
Рис. 7.
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .
Решение. Область интегрирования расположена между прямыми , ограничена снизу параболой , сверху прямой (рис. 8).
Так как правый участок границы области задан двумя линиями, то прямая разбивает ее на области и .
В результате получаем
.
Y
2
D2
1
D1
0 1 2 Х
Рис. 8
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение. По уравнениям границы области строим данную фигуру (рис.9). На основании свойства 3 двойных интегралов искомая площадь
.
Y
3
0 1 3 Х
Рис. 9.