8.Означення похідної

Похідною від функції y=f(x) по аргументу х називається скінченна гранися відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля, позначають .

Похідна є швидкість зміни функції в точці .

9. Похідна суми, добутку, частки функції.

(U±V)’=U’+V’ - похідна суми. (U*V)’=U’*V+U*V’- добуток похідної. - похідна частки.

10. Диференціал.

Диференціалом функції називається головна частина її приросту, лінійна щодо приросту аргументу

dy = f '(x)∆х.

Оскільки dx = ∆х, то dу = f'(х)dх. При досить малих значеннях ∆х справджується наближена рівність ∆y ≈ dy. Звідси випливає формула для наближеного обчислення значення функції

f(x₀ + ∆x) ≈ f(x₀) + f '(x₀) ∆x.

Основні властивості диференціала.

1. dC = 0 (C = const);

2. d(au + bv)=adu + bdv (a, b – сталі, u, v – диференційовані функції);

3. d(uv) = udv + vdu;

4. 

5. df (u) = f '(u) du.

12. Правило Лопіталя

14. Формула Тейлора

Формула Тейлора дозволяє виразити функцію через многочлени.

15. Опуклість кривої, точки перегину, асимптоти кривої.

Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать над дотичною, проведеною до кривої в  точці , то крива в точці називається вгнутою догори.

            Означення. Якщо існує окіл точки  такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать під дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці  називається вгнутою донизу.

            Означення. Точка називається точкою перегину кривої, якщо існує окіл точки  - такий, що для всіх  крива вгнута по один бік, а для всіх  - по другий бік.

Означення.  Пряма лінія  називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої  до прямої  прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто

.

Асимптоти розрізняють трьох типів:

“горизонтальні”

“вертикальні”

“похилі”.

16. Дослідженя функції за допомогою похідної та побудова графіка

1. ОДЗ

2. Парна не парна фун-я

3. Перетин графіка за осями Ох,Оу

4. Похідна

5. Знаходженя критичних точок.(похідна дорівнює 0 або не існує)

6. Монотоність та точки екстремуму

7. друга похідна

8. Знаходження асимптот

18.Дотічна площина та нормаль до поверхні.

Нормаль до поверхні – це перпендикуляр до дотичної в точці дотику.

19. Градієнт функції двох та трёх змінних.

Якщо скалярна функція фи(М) залежить від 2х змінних наприклад х і у то відповідно скалярне поле фи (х, у) наз. плоским. Якщо ж функція залежить від тріох змінних х у z то скалярне поле наз просторове. Градієнт є вектор швидкості найбільшої змінної скаляра фи от х у z.

20. Дослідження функцій двох змінних та екстремум.

Екстремум

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок цього околу виконується нерівність , тоді ця точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема 1 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці , тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема 2 (достатня умова екстремуму). Нехай функція має екстремум у точці неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1)  і , тоді точка максимуму функції ;

2)  і , тоді точка мінімуму функції ;

3) , тоді в точці немає екстремуму.

4) , тоді потрібні додаткові дослідження.