22. Невизначений інтеграл. Означення та властивості.

Властивості:

24. Формула інтегрування по частинам у невизначеному інтегралі.

25. Інтегрування раціональних дробів.

Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де а_і та b_k — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I.

II.

III.

IV.

27. Визначений інтеграл. Означення та властивості.

Визначеним інтегралом функції f(x) n i b називається границя послідовності інтегральних сумм, якщо .

Властивості:

1.

2.

3.

4.

5.

28.Формула Ньютона – Лейбніца:

Нехай функція f неперервна на відрізку [а, b] та F — певна первісна для f на цьому відрізку, тоді:

Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовуеться позначення:

Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских і криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

29. Заміна та підстановка при обчисленні визначених інтегралів.

30. Формула інтегрування по частинам у визначеному інтегралі.

Формула інтегрування частинами визначеного інтеграла.

31. Обчислення площі фігури за допомогою візначного інтегралу

Формула

За допомогою дуги кривої

Формула

32. Диференційні рівняння: означення та приклади.

Piвняння, в яких невідомими є функції i в які входять не тільки самі функції, а й їx

похідні, називаються диференціальними рівняннями.

Приклади:

F(x,y,y’)=0

35. Лінійні однорідні диференційні рівняння 2-го зі сталими коефіцієнтами.

В загальному випадку диференційні рівняння 2-го порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=j(x,C1,C2) і за рахунок вибору C1 і С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x0)=y0, y’(x0)=y0’.

Рівняння вигляду y’’+a1y’+a2y=0 називаються лінійними однорідними диференційними рівняннями.

37. Ряди: означенняб необхідна умова збіжності

Нехай задано числову послщовшсть . Тоді послідовність

називаеться числовим рядом; його позначають:

Ряд називаеться збіжним, якщо послідовність його частин- них сум збігаеться. Якщо послідовність частинних сум ряду розбігаеться, то вiн називаеться розбіжним.

38.Ряди: ознаки збіжності Даламбера, Коші, інтегральна ознака, ознака порівняння.

1) Даламбера:

- збіжний - розбіжний.

2)Коші:

3)Інтегральна ознака:

4)Ознака порівняння:

і