З метою одержання формули для σr візьмемо до уваги, що в загальному випадку

σ_r= σ_ст+ σ_а, (6.2)

де σ_{ст –} напруження стаціонарного навантаження;

σ_{а –} змінні напруження, що доповнюють стаціонарне навантаження до максимального і створюють циклічність. Ці напруження називають амплітудними.

_max = _r

_r

_ст

_a

0 _m

0

t

_m

_-1

_a

_m

_m

Рис. 6.3. Графік напружень при нестаціонарному навантаженні

На рисунку 6.3 проведемо лінію з точки 0 під кутом 45⁰ до перетину її з вертикальною лінією, що має абсцису σ_т. Тоді одержимо стаціонарне навантаження, коли найбільше і середнє напруження дорівнюють σ_т. З рисунка 6.3 також видно, що амплітудне напруження

або

де називають коефіцієнтом чутливості матеріалу до асиметричності циклу, він визначається кутом γ нахилу лінії .

Підставивши з формули (6.1) значення σ_m, одержимо:

Підставимо цей вираз у формулу (6.2), перейдемо від σ_ст до σ_m і . Тоді одержимо:

.

Вирішуємо це рівняння відносно σ_r:

У результаті одержимо вираз для границі витривалості матеріалу σ_r при заданому коефіцієнті асиметрії циклу через відому границю витривалості матеріалу при симетричному циклі σ_-1,

(6.3)

Для врахування концентрації напружень до рівняння (6.2) вводять коефіцієнт k >1, помножуючи на нього амплітудні напруження,

(6.4)

Далі розв’язання для , границі витривалості матеріалу з урахуванням коефіцієнта асиметрії циклу r і коефіцієнта концентрації напружень k, виконуються в повній аналогії з розв’язанням для . У результаті одержуємо формулу

(6.5)

Одержимо також формулу для σ_r, виражену через відому границю витривалості матеріалу при віднульовому циклі σ₀.

З рисунка 6.3 виходить, що

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

При врахуванні концентрації напружень:

. (6.6)

При багаторівневому навантаженні, постійній асиметрії циклу і наявності концентратора напружень границя витривалості матеріалу зменшується на деяку величину після кожного блоку навантажень. (Маючи на увазі, що коефіцієнт концентрації присутній у всіх формулах границі витривалості, умовно опустимо його в подальших записах.)

На рисунку 6.4 показані криві втоми матеріалу в логарифмічних координатах при навантаженні деталі блоками – напружень з кількістю циклів z1 і напружень з кількістю циклів z2. Границя витривалості матеріалу після першого навантаження змінюється на величину

Лінії 1 і 2 графіка паралельні, оскільки згідно із законом накопичення втомних пошкоджень у матеріалі:

z1/N1 + z2/N2 = 1; z1N2 + z2N1 = N1N2; N2/z2 = N1/(N1 - z1).

Після логарифмування

lg N2 - lg z2 = lg N1 - lg (N1 - z1).

lg 

 _r

2

1

Рис. 6.4. Дворівневе навантаження перерізу

Звідси витікає, що відрізки N2 - z2 і N1 - (N1 - z1) рівні між собою, а лінії 1 і 2 паралельні. Отже, для отримання і нового значення досить провести через точку z на графіку лінію 2, паралельну лінії 1, до її перетину з лінією N₀.

Графік зміни границі витривалості при кількості рівнів навантаження більше двох буде аналогічним наведеному на рисунку 6.4.

При повному вичерпанні ресурсу перетину, тобто при= σ_r , рівняння повного накопичення втомних пошкоджень має вигляд

(6.7)

де m – показник ступеня втомної кривої, що має одне і те саме значення для їх сімейства при ступінчастому навантаженні.

При однорівневому навантаженні і змінній асиметрії циклу лінії 1,2 ... графіка зміни границі витривалості не будуть паралельними (рис.6.5). Формула повного накопичення втомних пошкоджень змінить свій вигляд.

lg

(r1)

 _r1

 _r2

 _ri

 _rn

A x

(r1)

z1 (r_i)

(r1)



(r1)

Рис. 6.5. Однорівневе навантаження зі змінною асиметрією циклу

Базовій кількості циклів відповідають різні за величиною границі витривалості , яких набуває матеріал після кожного навантаження деталі блоком напружень відповідної асиметрії r1,r2, ..., r_n. Значення їх пов'язані з різними показниками ступеня втомних кривих m1,m2, ...,mi ...,m_n.

Далі міркування про приведення блоків навантажень з різними асиметріями до навантаження i-ої асиметрії проводять таким чином.

Щоб перевести зразок з початкового стану в який-небудь стан A (див. рис. 6.5), йому можна надати z1 циклів з асиметрією r1. Зразок може опинитися в тому ж заданому стані, якщо він спершу мав деяку кількість циклів навантажень з асиметрією r_i.

При дворівневому навантаженні рівняння повного накопичення втомних пошкоджень матиме вигляд

(6.8)

Аналогічні рівняння одержуємо при багатоасиметричному вантаженні деталі.