- •Лекція 5 Тема: Векторні простори. Алгебри
- •2. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору
- •3. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
- •4. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом
- •2) Розкладемо вектор за базисом :
- •Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо
- •4. Векторні простори із скалярним добутком
- •5. Підпростори векторного простору
- •6. Лінійний оператор та його матриця
- •6. Поняття алгебри. Приклади алгебр
- •8. Ізоморфізм та гомоморфізм алгебр
6. Поняття алгебри. Приклади алгебр
Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається векторний простір , в якому визначена алгебраїчна операція множення векторів, причому виконані наступні умови (аксіоми алгебри):
1. – асоціативність множення;
2. – дистрибутивність справа відносно додавання векторів;
– дистрибутивність зліва відносно додавання векторів;
3. – дистрибутивність відносно множення на число.
Позначається або просто .
Можна дати інше означення алгебри, яке використовує поняття кільця:
Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається кільце з одиницею, яке водночас є векторним простором над полем .
При цьому аксіома 3 зв'язує множення на елементи з поля з множенням в кільці.
Розмірність векторного простору називається розмірністю алгебри . Алгебра буде скінченновимірною або нескінченновимірною в залежності від того, скінченновимірний або нескінченновимірний векторний простір .
Зафіксуємо в векторному просторі деякий базис . Тоді множення векторів , однозначно визначається заданням добутків базисних векторів. Дійсно:
.
Розкладемо вектори за базисом :
.
Ми бачимо, що структура алгебри на векторному просторі з фіксованим базисом цілком визначається набором елементів поля , . Ці елементи називаються структурними константами алгебри .
З асоціативності множення базисних векторів випливає, що для будь-яких
.
Навпаки, з останнього співвідношення випливає асоціативність множення базисних векторів.
Елемент алгебри називається одиницею алгебри, якщо для будь-якого елемента .
Приклади алгебр.
1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є алгеброю.
2) Множина комплексних чисел з операціями додавання і множення комплексних чисел є двовимірною алгеброю над полем . Множення векторів однозначно визначається заданням добутків базисних векторів . Ці добутки зручно задавати у вигляді таблиці:
-
.
–1
3) Розглянемо -вимірний арифметичний векторний простір над полем , тобто множину наборів , , з покоординатним додавання і множенням на числа з . Визначимо в ньому операцію множення покоординатно:
.
Ця операція перетворює -вимірний арифметичний векторний простір над полем в алгебру над полем .
4) Множина всіх квадратних матриць порядку з елементами з поля утворює алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення матриць. Алгебра є скінченновимірною розмірності .
5) Сукупність всіх многочленів від змінної з коефіцієнтами з поля відносно операцій додавання і множення многочленів утворює нескінченновимірну алгебру.
6) Якщо – векторний простір над полем , то лінійні оператори (автоморфізми) в просторі утворюють алгебру . Ця алгебра є скінченновимірною або нескінченновимірною в залежності від того, скінченновимірним або нескінченновимірним є векторний простір .
7) Розглянемо векторний простір над полем з базисом . Визначимо в ньому операцію множення за допомогою таблиці множення базисних векторів:
. |
||||
–1 |
||||
–1 |
||||
–1 |
Легко перевірити, що таким чином утворюється алгебра над полем . Ця алгебра називається алгеброю кватерніонів. Історично це є один з перших прикладів алгебр.
Чотиривимірна алгебра кватерніонів в деякому розумінні унікальна. Вона була відкрита ірландським математиком і механіком У. Гамільтоном, який поставив собі проблему побудувати алгебру, елементи якої мають всі властивості комплексних чисел. Для кватерніонів дійсно виконуються всі властивості комплексних чисел, крім одного – операція множення кватерніонів некомутативна.
8) Нехай задана деяка група і векторний простір . Визначимо в ньому операцію множення за допомогою таблиці множення елементів групи. Таке множення задає структуру алгебри, яка називається груповою. Позначається .