III. Уравнения гиперболического типа

Задачу Коши для однородного волнового уравнения

,

удовлетворяющего начальным условиям

,

можно решить, используя формулу Даламбера

.

Формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения с неоднородными начальными условиями имеет вид:

.

Решение краевой задачи имеет вид

,

где - ; .

Вариант №1

Решить задачу Коши:

1. .

2. ; , .

3. .

4. 

Решить граничную задачу:

5. .

6.

Вариант №2

Решить задачу Коши:

1. .

2. ; , .

3. .

4. ; , .

Решить граничную задачу:

5. .

6. .

Вариант №3

Решить задачу Коши:

1. ; , .

2. ; , .

3. .

4. 

Решить граничную задачу:

5. .

6.

Вариант №4

Решить задачу Коши:

1. .

2. ; , .

3. .

4. 

Решить граничную задачу:

5. .

6. .

Вариант №5

Решить задачу Коши:

1. .

2. ; , .

3. .

4. ; , .

Решить граничную задачу:

5. .

6. .

IV. Уравнения параболического типа

Задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

,

удовлетворяющего неоднородному начальному условию

,

можно решить, используя формулу Пуассона

.

Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

,

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

,

определяется формулой

.

Решение однородного линейного параболического уравнения

,

удовлетворяющее при t=0 начальному условию

,

и однородным граничным условиям вида

определяется формулой

,

где

.

Решение однородного линейного параболического уравнения

,

удовлетворяющее при t=0 начальному условию

,

и однородным граничным условиям вида

определяется формулой

,

где

.

Решение однородного линейного параболического уравнения

,

удовлетворяющее при t=0 начальному условию

,

и однородным граничным условиям вида

определяется формулой

,

где

,

Значения являются действительными положительными корнями трансцендентного уравнения: .

Решение задачи для неоднородного уравнения теплопроводности

,

с начальными условиями

,

и граничными условиями вида

.

Определяется формулой

где - , а определяются из значений общего вида краевых условий-; ; ; .

Решение смешанной краевой задачи определяется формулой

,

где

.

Вариант №1

Решить задачу Коши:

1. ; .

2. ;

3. ; ;

Решить граничную задачу:

4. ;

5. .

Вариант №2

Решить задачу Коши:

1. ; .

2. .

3. ;

Решить граничную задачу:

4. .

5. .

Вариант №3

Решить задачу Коши:

1. ; .

2. .

3. ;

Решить граничную задачу:

4. .

5. 

Вариант №4

Решить задачу Коши:

1. ; .

2. .

3. .

Решить граничную задачу:

4. ;

5. 

Вариант №5

Решить задачу Коши:

1. ; .

2. .

3. .

Решить граничную задачу:

4. .

5. .

V. Уравнения эллиптического типа

Решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге имеет вид:

1. Задача Дирихле: ,

.

или

.

2. Задача Неймана: ,

.

где С – произвольная постоянная.

3. Третья краевая задача:

,

Коэффициенты в решениях являются коэффициентами Фурье функции и определяются по формулам

Решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа вне круга имеют вид:

1. Задача Дирихле: ,

.

2. Задача Неймана: ,

.

3. Третья краевая задача:

,

Коэффициенты в решениях являются коэффициентами Фурье функции и определяются по формулам

Вариант №1

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где: .

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что .

3. Решить уравнение Лапласа в круге: .

4. Решить уравнение Лапласа вне круга: .

Вариант №2

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где: .

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что .

3. Решить уравнение Лапласа вне круга: .

4. Решить уравнение Лапласа в круге: .

Вариант №3

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где: .

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что

3. Решить уравнение Лапласа вне круга: .

4. Решить уравнение Лапласа в круге: .

Вариант №4

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где: .

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что .

3. Решить уравнение Лапласа в круге: .

4. Решить уравнение Лапласа вне круга:

Вариант №5

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что , где: .

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R c центром в начале координат и такую, что

3. Решить уравнение Лапласа в круге: .

4. Решить уравнение Лапласа вне круга: .

Методические указания составил Терещенко С.В. - заведующий кафедрой физики горных процессов и геофизики.