4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Теорема. Если функция дифференцируема в точ­ке x, причем f '(x) 0, то при Δx —> 0 приращение Δy и диф­ференциал dy функции являются эквивалентными бесконечно малыми.

На этой теореме и основано применение дифференциала к приближенным вычислениям. Известно, что любую из двух эквивалентных бесконечно малых можно приближенно заменить другой. Следовательно,

Δy ≈ dy. (9)

Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно ма­лом ‌‌‌‌‌. Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула (9) широко применяется в приближенных вычислениях.

5. Частные производные и полный дифференциал

5.1. Частные производные. Пусть (x, у) — произвольная фиксированная точка из обла­сти определения z =f(x, у). Рассмотрим предел

.

Этот предел (если он существует) называется частной производ­ной (1-го порядка) данной функции z по переменной x в точке (x, у). Производная обозначается одним из символов: .

Аналогично, .

Частные производные функции z = f(x, у) сами представля­ют собой некоторые функции переменных x и у.

Таким образом, частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении у. Аналогично, есть производная функции z = f(x, у) по у в предположении, что x является константой.

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

5.2. Полный дифференциал. Пусть Р(x, у) — данная точка, а Р'(х+Δх, у+Δу) — близкая точка, отвечающая приращениям аргументов Δх и Δу. Пол­ным приращением функции z = f(x, у) в точке Р называется разность Δz = f(Р') – f(Р) = f(x + Δx, у + Δу) – f(x, у). Если приращение Δz можно представить в виде Δz = АΔх + BΔу + ε, где ε — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием ρ = между точками Р и Р' (т.е. ε / ρ —> 0 при ρ —> 0), то функция z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке Р, а главная линейная часть ее приращения AΔx + ВΔу = dz называется полным дифференциалом функции в точке Р. Функция, имеющая диф­ференциал в каждой точке некоторой области D, называется дифференцируемой в этой области.

Если функция дифференцируема, то необходимо, чтобы вы­полнялись равенства:

A = , B = .

Достаточным условием дифференцируемости является нали­чие непрерывных частных производных. Так как приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами, т. е. Δx = dx, Δу = dу, то дифференциал функции z = f(x, у) вычисляется по формуле

.

6. Понятие неопределенного интеграла, свойства.

При изучении дифференциального исчисления рассматрива- лась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции у = F(х), т. е. необходимо было найти f(x) = = F'(х) или dF(х) = F'(х)dх = f(х)dх. Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функ- цию, т.е., зная производную f(x) (или дифференциал f(x) dx), найти такую функцию F(х), чтобы F'(х) = f(x). Например, пусть известна скорость перемещения точки υ = υ(t), а надо найти закон ее перемещения S = S' (t), причем S'(t) = υ (t). Эта задача оказывается значительно более трудной, чем задача диф­ференцирования. Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.

Определение 1. Дифференцируемая функция F(х) называ­ется первообразной для функции f(x) на (a, b), если F'(х) = f(x) на (а, b).

Например, для f(x) = х² первообразная F(х) = x³/3, так как F'(х) = (x³/3)' = х²; для f(x) = соs x первообразной будет F(х) = sin х, потому что F'(х) = (sin x)' = соs x, что совпадает с f(x).

Всегда ли существует первообразная для заданной функ­ции f(x)? Ответ положителен, если эта функция непрерывна на (а,b). Кроме того, первообразных бесчисленное множество и отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. Действительно, sin x + 2, sin x – 2, sin x + с, — все эти функции будут первообразными для соs x (производная от постоянной величины равна 0).

Определение 2. Выражение F(х) + С, где С — произволь­ная постоянная величина, определяющее множество первообраз­ных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом , т.е. = F(х) + С, где знак — знак неопределенного интеграла, f(x) — называ­ется подынтегральной функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.

Определение 3. Операция нахождения первообразной по за­данной производной или дифференциалу называется интегриро­ванием этой функции.

Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифферен­цирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной. Придавая постоянной величине С конкретные значения С₁, С₂, Сз, получим различные функции:

y₁(х) = F(х) + С₁, у₂(х) = F(х) + С₂, y₃(х) = F(х) + С₃,

каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты относительно друг друга вдоль оси ОУ. Следователь­но, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых (рис. 4).

Рис. 4

Итак, введены новые понятия (первообразной и неопреде­ленного интеграла) и новое действие (интегрирование), но как все-таки находить первообразную? Чтобы легко было ответить на этот вопрос, надо в первую очередь составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных эле­ментарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если (sin x)' = соs х, то соs х dх = sin x + С.

Обычно в таблицу включаются и некоторые интегралы, полу­ченные после применения простейших методов интегрирования.

Свойства неопределенных интегралов

Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интегра­ла, которые позволят интегрировать не только основные элемен­тарные функции.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подын­тегральной функции:

.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Пример 1.

Пример 2.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Пример 3.

4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Пример 4.

Формула интегрирования остается справедливой, ес­ли переменная интегрирования является функцией: если

, то , где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.

Пример 5. , поэтому

, .

Сравнить с .

В интегральном исчислении нет универсального способа ин­тегрирования. Применение различных методов приводит данный интеграл к табличному, который надо узнать с учетом свойства инвариантности. Полезно прочитать табличный интеграл, обра­щая внимание на то, где находится переменная интегрирования (в показателе степени, в знаменателе, под знаком синуса и т. д.).