9. Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения. При решении различных задач математики и физики, био­логии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый про­цесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую пере­менную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают у(х) или просто у, а ее производные — у', у" и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если у = х(t), то х'(t), х"(t) — ее производные, а t — независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Об­щий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или .

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того чтобы уравнения были дифференциальными, суще­ственно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения назы­вается порядок старшей производной, входящей в него.

Например: х²у' – у = 0, у' + sin х = 0 — уравнения первого порядка, а у" + 2у' + 5у = х — уравнение второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения на­зывается такая функция, которая обращает уравнение в тожде­ство после подстановки этой функции и ее производных в урав­нение.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произволь­ной постоянной. Если операция интегрирования применяется n раз, то очевидно, что в решении будет содержаться n произволь­ных постоянных.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка определяется выражением

(13)

Уравнение может не содержать в явном виде x и у, но обяза­тельно содержит у'.

Если уравнение можно записать в виде у' =f(x, y),

то получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, разре­шенное относительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального урав­нения 1-го порядка (13) является множество решений у = f(x, С), где С — произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости ХОУ общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Если задать точку A(x₀,у₀), через которую должна прохо­дить интегральная кривая, то, как правило, из множества функ­ций у = φ(х, С) можно выделить одну — частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произволь­ных постоянных.

Если функция у = φ (х, С) является общим решением, то из условия y₀ = φ (х₀, С) можно найти постоянную С.

Условие у = у₀ при x = x₀ называют начальным условием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (13) , удовлетворяющего начальному усло­вию у = у₀ при x = x₀, называется задачей Коши.

Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержится в тео­реме Коши.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении у' = f(x, у) функция f(x,у) и ее частная производная f_y'(х,у) определе­ны и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку A(x₀, y₀). Тогда в области О существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у = у₀ при x = x₀.

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая у = f(x), прохо­дящая через точку A(x₀, y₀). Точки, в которых не выполняются условия теоремы Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f(x, у) или . Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

Определение. Если решение (13) найдено в виде, не разрешенном относительно у, то оно называется общим инте­гралом дифференциального уравнения f(x, у, С) = 0.

Теорема Коши гарантирует только существование решения, а как найти это решение? Оказывается, что единого метода нахождения решения нет.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде y' = f₁(x) ∙ f₂(y) (14)

Правая часть уравнения (14) представляет собой произведе­ние двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнение у' = является уравнением с разделяющимися переменными (f₁(x) = , f₂(y) y), а урав­нение х²у'= 2y – x² нельзя представить в виде (14).

Учитывая, что перепишем (14) в виде .

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором при дифференциа­лах стоят функции, зависящие от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем

(15)

где С = С₂ – С₁ – произвольная постоянная. Выражение (15) представляет собой общий интеграл уравнения (14).

Разделив обе части уравнения (14) на f₂(у), мы можем по­терять те решения, при которых f₂(у) = 0. Действительно, если f₂(у) = 0 при у = уо, то у = уо, очевидно, является решением уравнения (14).

Пример 1. Найти решение у' = , удовлетворяющее условию: у = 6 при х = 2 (у(2) = 6).

Решение. Заменим у' на ,тогда . Умножим

обе части на dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя

оставлять dx в знаменателе:

,

а затем, разделив обе части на у (), получим уравнение

,

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Тогда ; потенцируя, получим у = С(х + 1) — общее решение.

По начальным данным определяем произвольную постоян­ную, подставив их в общее решение 6 = С(2 + 1) => С = 2.

Окончательно получаем у = 2(х + 1) — частное решение.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно представить в виде

у' = f(y/x).

В частности, уравнение, записанное в виде у' = f(x, у), явля­ется однородным, если f(x, у) есть отношение двух однородных многочленов одного измерения.

(Однородными многочленами измерения n называются мно­гочлены, у которых сумма показателей степеней переменных в каждом члене равна n. Например, x⁴+x³у–Зx²у²+4xу³–у⁴ — однородный многочлен четвертого измерения.) В однородном уравнении переменные, вообще говоря, не разделяются.

Однако оно легко может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными.

Введем новую функцию u = y/x или y = u ∙ x. Отсюда

у' = u'х + u или dy = u dx + x du.

Эта замена сводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка называется линейным, если его можно представить в виде

y' + p(x)y = q(x) (16)

Здесь у, у' — входят в 1-й степени, р(х), q(х) — неизвестные функции, в частности, они могут быть постоянными величинами.

Если q(x) = 0, то уравнение у' + p(x)y = 0 называется однородным.

Уравнение (16) решается методом Бернулли с помощью специального приема. Представим у в виде произведения двух функций у = u(x) υ(x), где u, υ — неизвестные функции, причем одну из них можно выбрать произвольно.

Итак, если у = u υ , то у' = u' υ + u υ' и, подставляя в (16), получим

u' υ + u υ ' + р(х)u υ = q(x),

u' υ + u(υ' + р(х) υ) = q(х).

Функции u, υ нам неизвестны, определим одну из них, на­пример υ , из условия

υ² + р(х) υ = 0. (17)

Учитывая это, придем к уравнению

u' υ = q(х). (18)

Найдем υ(x) из (17):

υ ' = - p(x) υ ,

,

Подставим найденное решение в (18):

, ,

Общее решение (16):

Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Rа (радия) в каждый момент времени про­порциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Rа, если известно, что в начальный момент имелось m₀ Rа и период полураспада Rа равен 1590 лет.

Решение. Пусть в момент t масса Rа составляет x г. Тогда скорость распада Rа равна

По условию задачи

где k — коэффициент пропорциональности.

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

ln x = - kt + lnC,

откуда .

Для определения С используем начальное условие: при t = 0

x = m₀.

Тогда С = m₀ и, значит, .

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t= 1590 x = m₀ /2.

Имеем m₀ /2 = m₀е^-1590k или е^1590k = 2. Отсюда

е^k = 2¹/¹⁵⁹⁰ и искомая формула x(t) = m₀2^-t/¹⁵⁹⁰.

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их коли­честву. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бак­терий от их количества. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?

Решение. Пусть x — количество бактерий в момент t. Тогда согласно условию ,

где k — коэффициент пропорциональности.

Отсюда x = ce^kt . Из условия известно, что х(при t=0) = 100. Значит,

С = 100, х = 100е^kt.

Из дополнительного условия x(при t=3) = 200. Тогда 200 = 100е^3k,

2 = е^3k, е^k = 2^1/3. Искомая функция:

х = 100 ∙2^t/3.

Значит, при t = 9x = 800, т. е. в течение 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действую­щего фермента пропорциональна его начальному количеству х. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвои­лось. Найти зависимость x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение про­цесса имеет вид

,

отсюда х = се^kt .

Но x(при t=0) = a. Значит, С = а, и тогда х = aе^kt. Известно также, что х(при t=1) = 2а. Следовательно, 2а = ае^k, е^k = 2 x(t) = a2^t .

Задача. Динамика численности популяции

Рассмотрим колонию организмов, обитающих в условиях не­ограниченных ресурсов питания. Предположим, что колония не подавляется никаким другим видом. В силу размножения и смертности число живых организмов в колонии будет меняться с течением времени. Найти закон этого изменения.

Решение. Пусть x = x(t) — число живых организмов в момент t,

х (t + Δt) — в момент t + Δt . Тогда Δx = х (t + Δt) – x(t) — приращение функции x(t) за промежуток Δt .

Из чего складывается приращение?

За время Δt взрослые особи (или их часть) произведут потом­ство, а часть особей может погибнуть. Таким образом,

Δx = G – H,

где G — число развившихся особей за период Δt, H — число погибших особей за это время.

G зависит от длины промежутка Δt (чем больше Δt , тем больше G) и от количества «родителей» (чем больше взрослых особей, тем больше их потомство):

G = Ф(x, Δt ),

где Ф (x, Δt ) растет с ростом x или Δt и равна нулю, если равна нулю одна из переменных.

Из экспериментов известно, что Δt должна входить линейно: если промежуточные наблюдения увеличить, например, в 2 раза, то и прирост потомства микроорганизмов увеличивается в 2 раза, т.е. Ф(х, Δt ) = f (x) Δt .

Характер f(x) определить сложнее. Но известно, что f (x) монотонно возрастает с ростом x и f(0) = 0.

Но каков рост f (x)? Он существенно зависит от биологиче­ских особенностей исследуемого вида, и для его описания могут понадобиться те или иные степени ж, рациональная функция и т. п.

Мы рассмотрим простейший случай, когда численность потомства пропорциональна количеству «родителей»: f(x) = αх, α = соnst (например, такой случай реализуется при делении клеток).

Итак, G = αх Δt .

Аналогично, Н = βx Δt .

Следовательно,

Δx = γx Δt, (19)

где γ = β – α .

Разделим обе части равенства (19) на Δt и перейдем к пре­делу при Δt —» 0:

и, значит,

.

Тогда, после интегрирования и разделения переменных, бу­дем иметь x(t) = Ce^γt .

Используем начальное условие: x(t₀ ) = x₀ (t₀ — время нача­ла наблюдения за колонией; x₀ — количество организмов).

Тогда искомый закон будет иметь такой вид:

Нужно отметить, что найденный закон носит только предпо­ложительный пока характер. Для удвоения количества живых организмов требуется всегда одно и то же время, независимо от первоначального количества (кстати, население Земли удваива­ется примерно через каждые 40 лет).

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальным уравнением второго по­рядка называется соотношение, связывающее независимую пере­менную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В частных случаях в уравнении могут отсутствовать х, у или у'. Однако уравнение 2-го порядка обязательно должно со­держать у". В общем случае дифференциальное уравнение 2-го порядка записывается в виде

F(х,у,у',у") = 0, (20)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно вто­рой производной

у" = f(х,у,у') (21)

Как и в случае уравнения 1-го порядка, для уравнения 2-го порядка могут существовать общее и частное решения.