Раздел 4. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Матрицы и действия над ними. Определители матриц. Миноры, алгебраические дополнения. Транспонированная, обратная матрицы. Ранг матрицы. Линейные уравнения с n неизвестными. Метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы.

N-мерное арифметическое пространство – R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Разложение вектора по произвольному базису. Базис и ранг системы векторов. Угол между векторами.

Прямая на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Понятие о кривых второго порядка. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Раздел 5. Становление современной математики

История математики. Оценка роли и места математики и математических методов в решении интеллектуальных задач из различных сфер деятельности человека.

Основные этапы становления современной математики и ее структура.

Вопросы к зачету (ЭКЗАМЕНУ)

1. Элементы комбинаторики.

2. Основные понятия теории вероятностей. События. Операции над событиями. Примеры. Вероятность события. Классическая вероятность. Свойства. Примеры. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины

4. Понятие предела функции. Вычисление пределов (0/0, ∞/∞, в том числе раскрытие неопределенностей при помощи замечательных пределов). Примеры. Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя. Примеры.

5. Определение производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные элементарных функций.

6. Возрастание и убывание функции. Исследование функции на монотонность с помощью производной. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Общая схема исследования функции.

7. Матрицы. Действия над матрицами.

8. Определители. Определение. Свойства. Вычисление определителей.

9. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Тема «Комбинаторика»

1. Что называется комбинаторикой?

2. Правило сложения.

3. Правило умножения.

4. Размещения.

5. Перестановки.

6. Сочетания.

7. Схема решения комбинаторных задач.

Тема «Основы теории вероятностей»

1. Что включает в себя понятие «теория вероятностей»?

2. Что является задачей теории вероятностей?

3. Что включает в себя понятие «испытание»?

4. Что называется событием?

5. Как обозначаются события?

6. Какое событие называется достоверным? невозможным? случайным?

7. Дайте определение событий совместимых (совместных) и несовместимых (несовместных).

8. Какие события называются противоположными? Как обозначаются противоположные события?

9. Что называется суммой событий?

10. Что называется произведением событий?

11. Поясните следующее понятие «полная группа событий».

12. Дайте понятие «благоприятствующее событие».

13. Что называется вероятностью события?

14. Классическое определение вероятности.

15. Какие значения может принимать вероятность события?

16. Статистическое определение вероятности.

17. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

18. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

19. Понятие зависимых и независимых событий.

20. Понятие условной вероятности.

21. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения двух зависимых событий).

22. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения двух независимых событий).

23. Формула полной вероятности.

24. Формула Байеса.

25. Формула Бернулли.

Тема «Основы математической статистики»

1. Случайная дискретная величина и ее закон распределения.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его основные свойства.

3. Дисперсия и ее свойства.

4. Закон больших чисел.

5. Непрерывные случайные величины.

6. Интегральная функция распределения.

7. Дифференциальная функция распределения.

8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание и дисперсия).

Тема «Основы математического анализа»

1. Понятие функции.

1.1 Определение.

1.2 Способы задания.

1.3 Свойства функций.

1.4 Исследование поведения функции (Нули функции. Знакопостоянство. Исследование функции на четность (нечетность), на периодичность, на монотонность. Экстремум функции).

1.5 Построение графиков (Графики элементарных функций. Общая схема исследования функции).

2. Предел функции.

1. Определение. Обозначение.

2. Теоремы о пределах функций.

3. Два замечательных предела.

4. Вычисление пределов при х → х₀ , при х → ¥, раскрытие неопределенностей вида , .

3. Дифференциальное исчисление.

   1. Понятие производной. Определение. Обозначение. Геометрический и физический смысл.

   2. Правила дифференцирования.

   3. Производные элементарных функций.

   4. Производная сложной функции.

   5. Производные и дифференциалы высших порядков.

   6. Применение производной к исследованию функций.

   7. Общая схема исследования функций. Построение графиков функций.

   8. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

4. Интегральное исчисление.

   1. Первообразные функции.

   2. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

   3. Таблица неопределенных интегралов.

   4. Методы вычисления неопределенных интегралов.

   5. Определенный интеграл.

   6. Связь между неопределенным и определенным интегралами.

   7. Теорема Ньютона – Лейбница.

   8. Несобственные интегралы.

Тема «Матрицы и определители»

1. Понятие о матрице.

2. Сложение и вычитание матриц.

3. Умножение матрицы на число.

4. Умножение матриц.

5. Определители. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

6. Минор.

7. Алгебраическое дополнение.

8. Понятие определителя n –го порядка.

9. Обратная матрица.

10. Вырожденная, невырожденная матрица.

11. Свойства определителей.

12. Вычисление определителя n –го порядка.

13. Системы линейных уравнений.

    1. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени.

    2. Формулы Крамера.

    3. Линейная однородная система n уравнений с n неизвестными.

В ходе изучения дисциплины студент должен уметь: