§3. Тригонометрический ряд Фурье

Ряд Фурье по ортонормированной системе тригонометрических функций (3) §1 называется тригонометрическим рядом Фурье. В дальнейшем будем называть его просто рядом Фурье.

Чаще в тригонометрический ряд Фурье разлагают функцию не по ортонормированной системе, а по ортогональной ненормированной системе

(1)

Ряд Фурье записывается в виде

(2)

при этом коэффициенты, согласно (12) §2 определяются формулами

(3)

(4)

Разложение (2) справедливо только на отрезке Но поскольку правая часть (2) - функция периодическая, то продолжая функцию заданную на отрезке периодически с периодом добьемся того, что разложение (2) будет справедливо на всей числовой оси.

Пусть теперь функция задана на отрезке Введем замену Тогда Запишем ряд Фурье для функции

Вернемся теперь к старой переменной Тогда и

(5)

(6)

Аналогично найдем

(7)

Если функцию считать периодической с периодом то разложение (5) будет справедливо на всей числовой оси.

Пусть функция задана на отрезке Продолжим ее периодически на всю числовую ось с периодом

тогда

Докажем, что для периодической функции с периодом

(8)

Действительно,

Равенство (8) доказано. Учитывая, что также периодические функции с периодом найдем, что

(9)

Аналогично,

(10)

(11)

Легко убедиться, что

Отсюда следует, что четная функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а нечетная - только по синусам.

Пример. Разложить функцию в ряд Фурье.

Решение. 1-й способ. Продолжим функцию периодически с периодом (см. рис. 4), получим функцию

(12)

2-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию четным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим функцию четную.

(13)

3-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию нечетным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим нечетную функцию (14)

Заметим, что на отрезке ряды (12,13,14) сходятся в среднем квадратичном к функции

Преобразуем n-ое слагаемое ряда (5) (см. рис. 5)

(15)

Выражение (15) называется n-ой гармоникой, амплитудой, частотой, начальной фазой.

С учетом (15) ряд (5) можно записать так:

(16)

Совокупность амплитуд и частот называют дискретным спектром функции

Учитывая, что

n-ю гармонику можно записать в виде:

(17)

Полагая и учитывая (17), ряд Фурье (5) можно записать в комплексном виде (18)

§4. Характер и скорость сходимости ряда Фурье

Как отмечалось выше, тригонометрический ряд Фурье любой кусочно-непрерывной функции сходится в среднем квадратичном. Однако, ряд Фурье может сходиться и равномерно, все зависит от свойств разлагаемой функции. Если числовой ряд коэффициентов ряда Фурье (16) §3 сходится, то сам ряд Фурье (16) сходится равномерно на всей числовой оси, т.к. ряд является для него мажорантным.

Заметим, что ряд Фурье можно почленно интегрировать.

Теорема 1. Если функция кусочно-непрерывная на отрезке и в каждой точке имеет конечные односторонние производные то ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке этого отрезка, а его сумма (без доказательства).

Например, функции и примера §3 отвечают условиям теоремы 1, поэтому ряды Фурье для этих функций сходятся в каждой точке отрезка а в точке т.е. равны полусумме своих пределов слева и справа, согласно теореме 1.

Теорема 2. Пусть функция и все ее производные до порядка непрерывны на отрезке и удовлетворяют условию

Если кроме того функция имеет на отрезке кусочно-непрерывную производную порядка то ряд Фурье этой функции сходится равномерно и его можно раз почленно дифференцировать. Полученный ряд будет сходиться равномерно на (без доказательства).

Следствие. В условиях теоремы 2 остаток ряда Фурье имеет следующий порядок:

(1)

Например, функция примера §3 удовлетворяет условиям теоремы 2 при Ряд Фурье для этой функции сходится равномерно, но почленно дифференцировать его нельзя.

При практическом использовании рядов Фурье важен не только характер сходимости (средняя, поточечная, равномерная), но и скорость сходимости к нулю коэффициентов Фурье. Из оценок остатка (1) видно, что скорость сходимости зависит от свойств разлагаемой в ряд Фурье функции, а именно, чем глаже функция, т.е. чем больше она имеет производных, тем быстрее сходится ее ряд Фурье.

Например, ряд Фурье функции в §3 сходится быстрее, чем ряды Фурье функций и т.к. она непрерывная на всей оси, а функции и разрывные.