Глава 2. Введение в анализ

§ 1. Некоторые свойства множества действительных чисел

Если есть элемент некоторого множества , то пишут A. Запись A означает, что не является элементом множества A. Если любой элемент A является также элементом множества B, то пишут A  B. Говорят, что A входит в B, A есть часть B или A есть подмножество множества B. Например, множество натуральных чисел N – это подмножество рациональных Q и действительных R, N  Q, N  R. Если A  B, а B  A, то A = B.

Суммой (объединением) двух множеств A и B называется множество C, которое включает в себя все элементы A и B. Пишут C = A + B, или C = A  B. Разностью множеств А и В называют множество С, содержащее все элементы А, не принадлежащие В. Пишут С = А – В, или С = А \ В. Произведением (пересечением) множеств А и В называют множество С, содержащее все элементы, принадлежащие А и В. Пишут С = А  В, или С = А  В.

Прямым (декартовым) произведением двух множеств и называется множество всех упорядоченных пар Например, если то

Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны, т. е. Прямое произведение не подчиняется этим законам.

Различают множества конечные, содержащие конечное число элементов, и бесконечные, число элементов которых бесконечно. Если всякому элементу A по некоторому правилу поставлен в соответствие единственный элемент  В и, наоборот, по тому же правилу всякому элементу множества В поставлен в соответствие единственный элемент множества А, то говорят, что установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множеств А и В. Такие множества называют эквивалентными. Пишут А  В. Например, между точками числовой оси и действительными числами установлено взаимно однозначное соответствие, о котором мы уже говорили в §1 гл.1. Очевидно, эквивалентные конечные множества содержат одно и тоже число элементов. Если эквивалентные множества бесконечные, то этого утверждать нельзя. В этом случае говорят, что множества имеют одну и ту же мощность.

Бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать с помощью натуральных чисел (установить взаимно однозначное соответствие), называется счётным. Очевидно, само множество N является счетным.

Определение 1. Всякое бесконечное нумерованное множество называется числовой последовательностью. Обозначают её так , или , , , ... .

Теорема 1. Множество положительных рациональных чисел является счётным.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно установить способ нумерации положительных рациональных чисел, т.е. предложить способ выписать все их в виде последовательности.

				…
				…
				…
…	…	…	…	…

Выпишем все положительные рациональные числа в виде таблицы. Способ построения последовательности этих чисел указан в самой таблице стрелками. Повторяющиеся числа можно опустить. Теорема доказана.

Можно доказать, что и множество всех рациональных чисел является счётным, т.е. Q  N. Поскольку N  Q и N  ~Q, то для бесконечных множеств часть может быть эквивалентна целому.

Теорема 2. Множество действительных чисел отрезка [0,1] несчётное.

Доказательство (от противного). Предположим, что все действительные числа этого отрезка, записанные в виде бесконечных десятичных дробей, выписаны в виде последовательности: = 0,…,

= 0,…,

= 0,…,

............................ .

Составим еще одно число = 0,… . Потребуем, чтобы , , , и т.д., что всегда выполнимо. Очевидно, что число не совпадает ни с одним из чисел выписанной последовательности, т.к. с у них разные десятые, с разные сотые и т.д. Итак, число принадлежит отрезку [0,1] , но его нет в выписанной последовательности. Получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Можно доказать, что множество Rвсех действительных чисел также несчётное. Говорят, что множество действительных чисел имеет мощность континуума.

Множество E действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует действительное число M такое, что для всех  Е имеет место неравенство  М. Символически это предложение можно записать так:  М   Е ( М). Знаки  и  называются кванторами существования и всеобщности соответственно. Аналогично, если  m   E ( m), то множество Е называется ограниченным снизу. Множество ограниченное снизу и сверху называется ограниченным. ( m, M   E (m   M)).

Определение 2. Число М называется точной верхней гранью множества действительных чисел Е, если выполняются требования:

1)   Е ( М),

2)  > 0   E (M – < ).

Пишут М = sup E. Аналогично определяется точная нижняя грань множества Е m = infE. (Дать определение самостоятельно).

Теорема 3. Всякое ограниченное множество действительных чисел имеет точные верхнюю и нижнюю грани. (Без доказательства).

Определение 3. Окрестностью точки называют любой интервал содержащий эту точку. Если точка является серединой этого интервала, то она называется центром окрестности, длина половины этого интервала называется радиусом окрестности, а сама окрестность называется - окрестностью точки и обозначается О (,).

Окрестностью бесконечно удаленной точки называют множество всех таких точек, что > . Обозначают

O(,).