§6. Метод разделения переменных

Метод разделения переменных (метод Фурье) - самый распространенный метод решения краевых задач в ограниченной области. Суть метода состоит в представлении решения в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций. Продемонстрируем этот метод на следующей задаче.

Задача. Найти поперечные колебания круглой мембраны радиуса с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, передавшим мембране в ее центре импульс k.

Решение. Задача сводится к решению волнового уравнения (1)

с граничным условием

(2)

и начальными условиями

(3)

где плотность мембраны, дельта-функция.

Запишем оператор Лапласа в цилиндрической системе координат (§9 гл.9, ч.1), учитывая, что отклонение u не зависит от z и угла

(1')

Решение будем искать в классе функций, представимых в виде произведения

(4)

Подставляя (4) в (1'), получим

(5)

Т.к. правая часть (5) зависит только от t, а левая только от r, то эти части являются постоянной величиной. Обозначим ее Тогда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения (разделим переменные)

(6)

(7)

Обозначив оператор перепишем (6) так:

(6')

Из (6') видно, что является собственным числом оператора L, а R - собственной функцией, отвечающей собственному числу (см. §5 гл.7, ч.1).

Собственные функции очевидно, удовлетворяют граничному условию (2')

а собственные функции начальному условию (3')

Уравнение (6) есть уравнение Бесселя (см. §17 гл.8, ч.1 ), его решением является Требуя выполнения граничного условия (2'), найдем собственные числа . корни функции Бесселя

Подставляя найденные собственные числа в (7), найдем решение этого уравнения с учетом начального условия (3'). Решение (7) запишем в виде

(8)

Предполагая, что искомая функция разложим ее в ряд Фурье по ортогональной с весом системе функций Бесселя

(9)

С учетом представлений (4) и (8) ряд Фурье запишем в виде

(10)

Потребуем теперь выполнения второго начального условия (3). Дифференцируя (10) по t при получим следующий ряд Фурье

(11)

Коэффициенты ряда Фурье (11) находятся, как известно (см. (12) §2 гл.3), по формуле (12)

Учитывая, что (см. (8) §1 гл.3),

найдем

Подставляя эти коэффициенты в (10), получим решение задачи

110