Введение

Эконометрией, в широком смысле, понимается набор математических, вероятностных, статистических методов используемых экономистами для наблюдения за ходом развития экономики, ее анализом и прогнозированием.

В конспекте рассматриваются экономические модели, в которых применяются методы интегрального и дифференциального исчисления, теории дифференциальных уравнений (раздел 1), а также модели принятия решений в условиях неопределенности (раздел 2).

Раздел 1. Применение дифференциальных уравнений в моделировании роста производства продукции на предприятии

В природе и обществе встречаются многочисленные процессы, в ходе которых некоторые величины изменяются по следующему закону: в течении любого промежутка времени фиксированной длительности значение величины меняется в одно и то же число раз.

Процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами естественного роста.

Если допустить, что значение величины меняется в одно и то же число раз не в течение промежутка фиксированной длительности , а мгновенно, то мы приходим к процессу, при котором скорость изменения величины в момент времени пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Уравнение, описывающее этот процесс, можно записать так:

.

Так как , то получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

. (1)

Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением естественного роста. Впервые его получил Якоб Бернулли (1654 – 1705).

Оно позволяет, в частности, рассмотреть: а) задачу о кредитовании и увидеть как быстро растут невыплачиваемые долги; б) рост населения Земли и понять будущие проблемы человечества; в) рост денежных вкладов и возникновение денежных реформ; г) инфляционные процессы и «правило величины 70»; д) естественный рост выпуска продукции и возможность добиться больших объемов выпуска продукции в условиях постоянных инвестиций в производство и ненасыщаемости рынка.

Другими словами, уравнение (1) описывает изменение (рост, постоянство или увядание) исследуемой характеристики рассматриваемого явления (процесса) в зависимости от условий в которых протекает явление (процесс). Так, например, численность населения региона при условии отсутствия миграции и эмиграции и наличии благоприятствующих условий в зависимости от коэффициента естественного прироста , где коэффициент рождаемости, а коэффициент смертности) при будет расти, при остается постоянной и при убывает. Очевидным является и то, что на изменение численности населения региона существенным образом влияют и другие факторы: насыщаемость, неблагоприятные природные условия, наличие миграции и эмиграции и т.д.

Аналогичная ситуация может наблюдаться в производственной сфере.. Естественно, что в зависимости от таких факторов как инвестиции, вкладываемые в производство товара, конкуренция, выбытие основных фондов и их обновление, ненасыщенность и насыщенность рынка предполагаемым товаром, налоговая политика государства и др., предприятие будет процветать или увядать.

Остановимся более подробно на математической модели, описывающей рост количества продукции на некотором предприятии, произведенной в момент времени в условиях ненасыщаемости рынка.

Обозначим через количество продукции, произведенной в момент времени . Будем предполагать, что продукция продается по фиксированной цене и моментально реализуется. Тогда в момент времени доход составит . Предприятию выгодно расширять производство. Пусть на инвестиции в производство расходуется т-я часть указанного дохода, т.е.

.

В результате расширения производства будет получен прирост дохода т-я часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

.

Подставив последнюю формулу, получим дифференциальное уравнение естественного роста

.

Решением его является экспоненциальная функция , которая показывает как быстро можно добиться огромных объемов выпуска дефицитной продукции, если постоянно направлять часть дохода в расширение производства.

Экономисты Харрод Рой (1900 – 1978 – англичанин) и Домар Евсей Дейвид (1914 – 1997 – американец) считали, что можно добиться устойчивого роста не только объемов выпуска дефицитной продукции предприятия, но и также всей мировой рыночной экономики. Харрод считал, что устойчивый темп роста производства обеспечивается естественным ростом населения и естественным ростом производительности труда, т.е. экономика имеет устойчивый темп роста. В реальности происходит замедление темпов экономического роста. Так, если период с 1948 по 1973 г. был периодом быстрого экономического роста США, при этом ежегодные темпы производительности труда, например, составляли 2,43%, то с 1973 по 1983 г. производительность труда увеличивалась только на 0,75% в год.

Учитывая это , при использовании модели естественного роста надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения.

Дж. Кьютелет предложил, что в уравнении (1) должна быть не постоянной, а убывающей функцией, зависящей от :

. (2)

Позже, в 1836 г. его ученик Ферхюльст предлагает выбирать в виде

,

т.е. согласно Ферхюльсту величина в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению

(3)

Здесь коэффициент пропорциональности,

насыщенность рынка товаром.

Решим уравнение (3). Разделяя переменные в этом уравнении, получим

, или .

Проинтегрировав это соотношение, находим

,

т.е. .

Отсюда получим, что

. (4)

Таким образом, рост продукции в условиях насыщенности рынка будет описываться функцией (4).

График функции (4) называется логистической кривой. Он изображен на рисунке ниже.

Из этого рисунка видно, что при малых логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших характер роста меняется, темпы роста замедляются. При кривая асимптотически приближается к прямой , поскольку

.

Прямая является стационарным решением уравнения (3) и соответствует случаю . Значит, для модели (3) объем выпускаемой продукции в единицу времени стремится к конечному значению («взрыва» не происходит).

Рассмотрим теперь еще одну математическую модель, описывающую рост количества продукции на некотором предприятии, произведенной в момент времени . В отличие от модели естественного роста, когда , и в отличие от модели Дж. Кьютелета (2), когда , будем предполагать, что коэффициент зависит от времени : . (Знак «минус» означает, что фонды не увеличиваются, а выбывают). Такое происходит, например, когда предприятие не вкладывает вырученные деньги в производство, и при этом с течением времени на предприятии происходит изнашивание оборудования и орудий труда, т.е. происходит выбытие фондов.

Тогда рост количества продукции на некотором предприятии, произведенной в момент времени описывается не уравнением (3), а уравнением

. (5)

Рассмотрим два случая. Первый, когда , и второй, когда .

1. Пусть фонды в указанный промежуток времени не выбывают ().

Здравый смысл подсказывает, что ввиду отсутствия капиталовложений производство расти не будет, а ввиду отсутствия выбытия фондов оно не должно убывать. Таким образом, объем производства должен остаться на прежнем уровне. Так и происходит согласно дифференциальному уравнению . Решением этого уравнения является произвольная константа . Т.к. , то .

2. При постоянном выбытии фондов (например, при должно происходить падение производства. Решение соответствующего дифференциального уравнения дает именно это:

(убывающая функция).

Интересным является вопрос роста производства с учетом внешних инвестиций. Рассмотрим следующий пример.

Государство решает перечислить на протяжении двух лет в только что созданное предприятие для расширения его производства денежную сумму в 20 тыс. у.е. При этом оно (государство) должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования, изображенных на рисунке

По оси ординат единице соответствует 10 тыс. у.е.

Первая схема: перечисление по 10 тыс. у.е. ежегодно.

Вторая схема: перечисление в первый год 20 тыс. у.е., а на протяжении второго года ничего не перечислять.

Какую из этих схем инвестирования должно выбрать государство, чтобы предприятие выпустило больше продукции?

Решение.

Предприятие начинает с нуля и поэтому еще не в состоянии осуществлять инвестиции. Поэтому полагаем, что . Государство вкладывает в каждый момент времени сумму в денежных единиц. Денежные инвестиции дают возможность предприятию выпускать продукцию и количество выпущенной продукции в денежном эквиваленте выражаются уравнением

с начальным условием .

I. Для первой схемы инвестирования имеем

при ,

то есть

.

Откуда при .

Стоимость , выпущенной за два года продукции при первой схеме инвестирования, равна

(20 тыс. у.е.)

II. Для второй схемы инвестирования имеем

при ,

при ,

то есть

при ,

при .

Откуда при ,

при ,

при .

Стоимость продукции, выпущенной на протяжении двух лет при второй схеме инвестирования равна

(30 тыс. у.е.)

Таким образом, вторая схема инвестирования является более выгодной.

Этот пример показывает, что предприятие в период становления нуждается в поддержке больше, чем позднее.

Объединим две последние модели – модель выбытия фондов и модель роста производства с учетом банковских инвестиций. Во время производства продукции на предприятии срабатывается оборудование и средства труда. Денежные вложения в производство осуществляет только банк. При этом, в момент времени поток капиталовложений составляет денежных единиц и мгновенно преобразуется в расширение производства. Тогда стоимость продукции на этом предприятии, выработанной в момент времени , описывается уравнением

(6)

Слагаемое в этом уравнении, которое выражает поток «внешних капиталовложений», может означать и другие внешние влияния на предприятие. Слагаемое может быть и отрицательным. В этом случае оно может выражать, например, какое-нибудь выбытие денег с предприятия (например, выплаты налогов, потребительские расходы и т.п.). Поскольку расходы часто зависят не только времени , то есть, вообще говоря, функцией двух переменных и . Коэффициент , как мы видели, также может зависеть и от переменной и от переменной . Таким образом, уравнение роста может выражаться более общим, вообще говоря, уже нелинейным дифференциальным уравнением:

(7)

В отдельных случаях это уравнение может оказаться и уравнением с разделяющимися переменными, и линейным уравнением, и уравнением Бернулли.

Если в микроэкономике наиболее употребляемым линейным дифференциальным уравнением есть уравнение (6), то в макроэкономике используется уравнение

(8)

Здесь выражает время, национальный доход, потребление (более того, непроизводственное потребление, прирост материальных оборотных средств, государственных материальных резервов, потери), накопление основных производственных фондов.

Уравнение (8) характеризует тот факт, что национальный доход разделен на две части: накопление (первое слагаемое в правой части уравнения) и потребление (второе слагаемое в правой части уравнения), причем накопление производится государством пропорционально приросту национального дохода в тот же момент времени. Коэффициент выражает капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода).

Модель, основанная на уравнении (8), является простейшей моделью экономической динамики. С помощью нее находят динамику национального дохода в зависимости от траектории потребления .