- •Методическое пособие
- •Минск 2007
- •Элементы векторной алгебры
- •Связь сферической системы координат с
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •Аналитическая геометрия
- •Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
- •Пусть заданы точки м1(x1, y1, z1), m2(x2, y2, z2) и вектор .
- •Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки м(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Приведение квадратичных форм к каноническому
- •Задания для контрольной работы Следует соблюдать основные требования по оформлению контрольной работы:
- •Содержание дисциплины
- •Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве.
- •Основы векторной алгебры.
- •Преобразования координат.
- •Основы теории матриц.
- •Определитель квадратной матрицы. Ассоциированные матрицы и обратные матрицы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Прямые и плоскости.
- •Кривые на плоскости.
- •Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве.
- •Квадратичные формы.
- •Линейные (векторные) пространства.
- •Линейная (не)зависимость векторов. Базисы. Размерность линеала.
- •Норма и скалярное произведение векторов.
- •Отображения линейных пространств.
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Литература
-
Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве.
Координаты точки. Системы координат. Простейшее представление об евклидовом пространстве. Декартова система координат на плоскости. Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. Вектор перемещения. Радиус-вектор. Вектор как направленный отрезок. Простейшие алгебраические операции над векторами. Коллинеарные векторы. Единичный вектор Компланарные векторы. Понятие о базисных векторах. Разложение вектора по базису. . Деление отрезка в заданном отношении.
-
Основы векторной алгебры.
Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на направление (геометрический смысл скалярного произведения). Направляющие косинусы. Представление скалярного произведения векторов через их декартовы компоненты. Угол между векторами. Критерий ортогональности.
Векторное произведение векторов. Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения). Ориентация тройки векторов. Векторное произведение в декартовом базисе. Критерий коллинеарности векторов.
Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда (геометрический смысл смешанного произведения). Критерий компланарности векторов. Понятие об определителях 2 и 3 порядков. Вычисление векторного и смешанного произведений векторов с помощью определителей.
-
Преобразования координат.
Параллельный перенос (трансляция) декартовой системы координат. Преобразование компонент вектора и радиус-вектора при параллельном переносе. Поворот декартовой системы координат на плоскости. Преобразование компонент вектора при поворотах на плоскости. Поворот декартовой системы координат в пространстве. Общий вид преобразований компонент вектора при повороте в пространстве. Косоугольные системы координат. Понятие о контра- и ковариантных векторах). Понятие о криволинейных системах координат. Простейшие криволинейные системы на плоскости и в пространстве (полярная, цилиндрическая, сферическая).
-
Основы теории матриц.
Определение матрицы. Вектор-столбцы и вектор-строки. Квадратные матрицы. Коммутатор и антикоммутатор. Треугольные матрицы. Диагональные матрицы. Единичная матрица. Символ Кронекера. Симметричные и антисимметричные матрицы. Блочное представление матриц Операция транспонирования. След квадратной матрицы и его свойства.Умножение матриц на число. Произведение матриц.
-
Определитель квадратной матрицы. Ассоциированные матрицы и обратные матрицы.
Понятие о перестановках. Некоторые свойства перестановок. Определитель (детерминант) квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителя. Определитель произведения матриц. Элементарные эквивалентные преобразования квадратных матриц и использование их для вычисления определителей. Ассоциированные матрицы. Обратные матрицы. Вырожденные матрицы. Ранг матрицы.
-
Системы линейных уравнений.
Постановка задачи. Матрица системы. Расширенная матрица системы. Метод Гаусса. Неоднородные системы линейных уравнений. Условие совместности. Метод Крамера. Матричный метод. Однородные системы линейных уравнений. Тривиальные и нетривиальные решения. Критерий существования нетривиальных решений. Фундаментальная система решений.