- •Методическое пособие
- •Минск 2007
- •Элементы векторной алгебры
- •Связь сферической системы координат с
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •Аналитическая геометрия
- •Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
- •Пусть заданы точки м1(x1, y1, z1), m2(x2, y2, z2) и вектор .
- •Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки м(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Приведение квадратичных форм к каноническому
- •Задания для контрольной работы Следует соблюдать основные требования по оформлению контрольной работы:
- •Содержание дисциплины
- •Координаты и векторы в трехмерном евклидовом пространстве.
- •Основы векторной алгебры.
- •Преобразования координат.
- •Основы теории матриц.
- •Определитель квадратной матрицы. Ассоциированные матрицы и обратные матрицы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Прямые и плоскости.
- •Кривые на плоскости.
- •Алгебраические поверхности второго порядка в пространстве.
- •Квадратичные формы.
- •Линейные (векторные) пространства.
- •Линейная (не)зависимость векторов. Базисы. Размерность линеала.
- •Норма и скалярное произведение векторов.
- •Отображения линейных пространств.
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Литература
-
Линейная (не)зависимость векторов. Базисы. Размерность линеала.
Понятие линейной комбинации векторов. Тривиальная линейная комбинация. Определение линейной (не)зависимости. Некоторые критерии линейной (не)зависимости. Определение базиса. Ортонормированный базис.
Размерность линейного пространства.
Единственность разложения вектора по заданному базису. Замена базиса.
-
Норма и скалярное произведение векторов.
Понятие гомоморфизма линейных пространств. Изоморфизм линейных пространств. Преобразование базиса как преобразование изоморфизма. Норма вектора. Нормированные пространства. Примеры.
Скалярное произведение векторов. Виды определений скалярного произведения векторов. Линейные скалярные произведения. Свертка и скалярное произведение. Вещественное евклидово скалярное произведение. Строгое определение вещественного евклидова пространства. Ортонормированные базисы.
-
Отображения линейных пространств.
Линейные операторы. Представление линейного оператора в заданных базисах. Примеры линейных операторов (преобразование базиса, оператор проектирования, оператор производной). Представление линейных операторов матрицами. Сумма линейных операторов. Умножение линейного оператора на число. Произведение линейных операторов. Степени линейных операторов..
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Ортогональный оператор. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования.
Задача 1
Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если:
Задача 2
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3, если:
-
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3);
-
A1(-4,2,6), A2(2,-3,0), A3(-10,5,8), A4(-5,2,-4);
-
A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1);
-
A1(2,1,4), A2(-1,5,-2), A3(-7,-3,2), A4(-6,-3,6);
-
A1(-1,-5,2), A2(-6,0,-3), A3(3,6,-3), A4(-10,6,7);
-
A1(0,-1,-1), A2(-2,3,5), A3(1,-5,-9), A4(-1,-6,3);
-
A1(5,2,0), A2(2,5,0), A3(1,2,4), A4(-1,1,1);
-
A1(2,-1,-2), A2(1,2,1), A3(5,0,-6), A4(-10,9,-7);
-
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,-4), A4(1,-4,6);
-
A1(14,4,5), A2(-5,-3,2), A3(-2,-6,-3), A4(-2,2,-1)
Задача 3
Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее :
-
по формулам Крамера;
-
матричным методом;
-
методом Гаусса.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
10.
Задача 4
Решить однородную систему линейных уравнений:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
Задача 5
Задан треугольник координатами своих вершин. Найдите:
а) периметр треугольника;
б) точку пересечения медиан;
в) уравнение стороны ;
г) уравнение высоты, опущенной из вершины ;
д) длину этой высоты.
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |
|
, |
, |
; |