§ 7.4. Истечение идеального газа из суживающихся сопел

Допустим, что параметры газа на входе в сопло и выходе из него соответ­ственно равны p₁v₁ и p₂,v₂, а площадь выходного сечения F₂ (рис. 7.1). Скорость истечения газа из сопла может быть найдена путем интегрирования соотношения (7.1), записанного в виде

.

Интегрируя, получим

_,

где w₁ и w₂ - скорости газа на входе и на выходе из сопла.

Рис. 7.1

В случае, когда w₂>> w₁ величиной w₁ можно пренебречь. Тогда ско­рость на выходе из сопла w₂=w будет

.

Подставляя в эту формулу значение располагаемой работы при обрати­мом адиабатном расширении газа (см. § 4.5), получим

(7.11)

Используя формулу (7.7), находим еще одну формулу для w

Расход газа находится по уравнению неразрывности

(7.12)

Выразим удельный объем v₂ в выходном сечении сопла из уравнения адиабаты

(7.13)

Подставляя (7.11), (7.13) в (7.12), получим

(7.14)

Если зафиксировать давление p₁ и понижать давление за соплом р₂, то скорость потока w₂ и расход газа G будут увеличиваться. При достижении скорости w₂ значения, равного значению местной скорости звука а, дальней­ший разгон потока в суживающемся канале, как было показано в § 7.3, не­возможен, поэтому после достижения давления р₂ в устье сопла, равного давлению, при котором w₂=a, расход газа G по мере понижения давления р₂ будет оставаться неизменным и равным максимальному G_max. Давление р₂ , соответствующее достижению максимума расхода, называется критическим Р_2кр , отношение давлений p_2кр /p₁ также называется критическим.

Скорость истечения w₂, равная местной скорости звука, называется кри­тической скоростью и обозначается w_{2 кр}.

Для получения максимального расхода при истечении газа из сопла не­обходимо взять первую производную по р₂ от соотношения (7.14) и прирав­нять ее к нулю, т.е.

Отсюда

(7.15)

Это отношение давлений, обеспечивающее максимальный расход, назы­вается критическим и обозначается через β_кр

Критическое отношение давлений зависит только от свойств газов (от по­казателя адиабаты к). Например, для двухатомных газов k=1,4 и β= 0,528.

Подставляя в формулу (7.14) величину β_кр , получим значение максималь­ного расхода

(7.16)

Подставляя величину β_кр в формулу (7.11), получим формулу для крити­ческой скорости

(7.17)

Критическая скорость истечения представляет собой максимальную ско­рость истечения газа из суживающегося сопла. Так как согласно приведенным выше рассуждениям максимальная скорость на выходе из сопла не мо­жет превысить местную скорость звука а, то, следовательно, w_кр=a.

Из (7.13) и (7.15) следует

;

Подставляя p₁ и v₁ в (7.17), получим

Скорость распространения звука определяется по формуле Лапласа

где р - давление среды; ρ- плотность; v - удельный объем.

Для идеального газа учитывая, что рv=RT, получим

§ 7.5 Истечение идеального газа из комбинированного сопла лаваля

Анализ, проведенный в предыдущих параграфах, показал, что скорость, большая скорости звука, может быть получена в комбинированных соплах, состоящих из суживающихся и расширяющихся частей (сопла Лаваля) (рис.7.2)-

Рис. 7.2

В суживающейся части поток движется с дозвуковой скоростью, в узком сечении скорость равна скорости звука и в расширяющейся части она стано­вится сверхзвуковой.

Сопла Лаваля включает короткий суживающийся участок и конический расширяющийся насадок. Угол конусности насадка должен составлять 8-12°

Критическое давление и критическая скорость в узком сечении устанав­ливается в том случае, если давление окружающей среды на выходе из сопла меньше критического.

Скорость истечения и массовый расход идеального газа при заданной площади минимального сечения определяется по формулам (7.11), (7.14).

В случае, когда задан расход, площадь минимального сечения сопла оп­ределяется по формуле (7.16), где F₂=F_min , а площадь выходного сечения со­пла - по формуле (7.14).

Длина суживающейся части сопла обычно принимается равной диаметру минимального сечения. Длина расширяющейся части определяется по фор­муле

где D - диаметр выходного отверстия сопла; d - диаметр в минимальном се­чении; - угол конусности насадка сопла.