§ 5.8. Вопросы для самопроверки

8.1. Дайте определение уравнения регрессии Y на Х.

8.2. Как записывается формула простой линейной регрессии? Объясните элементы, входящие в формулу.

8.3. Определите по методу наименьших квадратов оценки параметров уравнения простой регрессии.

8.4. Какие гипотезы проверяются относительно параметров уравнения?

8.5. Как строятся доверительные интервалы для параметров?

8.6. Как строятся доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений уравнения регрессии?

8.7. Как интерпретируется параметр а₁ в простой регрессии?

8.8. Как записывается формула для множественного уравнения регрессии?

8.9. Как строятся доверительные интервалы для параметров множественного уравнения регрессии?

8.10. Как проверяется адекватность регрессионной модели?

8.11. Для чего необходимо анализировать регрессионные отклонения (остатки)?

8.12. Запишите формулу для эластичности, объясните ее смысл.

8.13. Что понимается под нелинейной регрессией?

§ 5.9. Задачи

9.1. Для предсказания уровня инфляции в краткосрочном периоде используется зависимость по А.Филлипсу:

где x_i – уровень безработицы в период i (в %);

y_i –темп роста инфляции в период i (в %);

(a₀, a₁, ) – неизвестные параметры.

По данным, представленным в таблице [ , c.99]:

Период (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	5,0	4,2	4,4	3,8	4,4	5,2	6,0	6,5	5,9	4,0
yi	2,0	3,0	3,2	4,0	3,6	2,1	1,7	1,2	1,8	2,4

требуется:

а) По диаграмме рассеяния проверить, правильно ли определен вид зависимости.

б) По методу наименьших квадратов найти оценки параметров а₀, а₁ и дисперсию .

в) Определить, при каком уровне безработицы можно ожидать отсутствие роста инфляции:

г) Определить, как изменится инфляция при снижении уровня безработицы на 1%, 2%?

9.2. При определении зависимости объема валовых инвестиций (y) от размера внутреннего валового продукта (ВВП) х были обработаны статистические данные этих показателей за 10 последовательных лет и рассчитаны величины:

ден. ед.; ден. ед.; .

По методу наименьших квадратов оцените зависимость между объемом инвестиций и ВВП с помощью модели простой линейной регрессии. На основе полученной модели ответьте на вопросы:

1) Каков будет ожидаемый объем инвестиций, если ВВП планируется в 10 ден. ед.?

2) Как изменится объем инвестиций, если ВВП увеличится на 1 ден. ед.?

9.3. Рассмотрим модель зависимости заработной платы (З) работников фирмы от следующих факторов:

П_i – производительность труда;

O_i – опозданий на работу;

P_i – рационализаторских предложений;

r_i – времени работы;

Б_i – брак;

где З_i – ежемесячная заработная плата в течение двух лет (n = 24).

Ответьте на следующие вопросы:

1) Соответствуют ли знаки оценок параметров модели содержанию факторов?

2) Какие из факторов Вы посоветовали бы рабочему увеличить в целях получения большей зарплаты, а какие уменьшить?

9.4. Выборка содержит 10 студентов, изучавших сначала математику, а затем статистику. В выборку включались студенты, прошедшие один и тот же курс по одним и тем же учебникам у одного и того же преподавателя. Каждый студент получил две оценки (в баллах), Х – оценка по математике, Y – оценка по статистике.

Определить, существует ли связь между Х и Y. Если существует, то можно ли по оценкам по математике прогнозировать оценки по статистике?

Выборка приведена в таблице:

Х	68	54	90	64	61	51	79	51	83	48
Y	55	38	95	63	58	40	74	32	84	45

Указания. а) Нарисуйте диаграмму рассеяния и определите, существует ли линейная зависимость между Х и Y?

б) если зависимость существует, то найдите оценки параметров а₀ и а₁ по методу наименьших квадратов, если

в) Определите по полученной модели оценку по статистике, если по математике студент получил 80 баллов.

9.5. В табл. 5.2. приведены результаты работы 27 учеников клепальщиков. Зависимость переменной Y является их производительность труда при установке заклепок (в штуках), независимые переменные – результаты, достигнутые учениками при выполнении теста ловкости рук (Х₁) и теста ловкости пальцев (Х₂). Цель анализа заключается в изучении возможности предсказания по этим двум тестам производительности учеников при установке заклепок. Если тесты окажутся пригодными для этого, то их можно будет потом применить при оценивании будущих клепальщиков.

Требуется:

1. Определить, существует ли корреляция между Y и Х₁, а также между Y и Х₂? Указание.

2. Вычислить множественный коэффициент корреляции , если известно, что определитель корреляционной матрицы равен

3. Построить уравнение множественной регрессии, если известны оценки параметров:

.

4. Проверить на уровне значимости  = 0,05 гипотезы а параметрах модели а₁ и а₂, если известно, что .

5. Построить доверительные интервалы для а₁ и а₂ с доверительной вероятностью .

6. Вычислить прогнозное значение Y при Х₁ = 100 ед. и Х₂ = 100 ед.

Таблица 5.2.

Число установленных заклепок, Y	Результат теста ловкости рук, Х1	Результат теста ловкости пальцев, Х2
230	135	107
81	93	67
100	108	81
212	138	93
216	123	81
156	116	86
201	119	86
194	112	96
164	128	80
166	116	86
146	125	78
196	114	89
202	128	84
203	129	80
201	125	99
195	120	86
180	126	92
174	136	95
120	104	82
198	116	76
189	112	80
184	109	85
174	113	75
168	113	87
143	104	69
131	103	65
130	125	84