СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа № 1 2

Проверка правил Кирхгофа

Лабораторная работа № 2 2

Изучение электростатического поля при помощи электролитической ванны

Лабораторная работа № 3 2

Исследование параллельного LC-контура в режиме вынужденных и затухающих колебаний

Лабораторная работа № 4 2

Определение неизвестной частоты сигнала с помощью фигур лиссажу

Лабораторная работа № 5 2

Лабораторная работа № 6 2

Приложения 2

Лабораторная работа № 1

Проверка правил Кирхгофа

1.Теория.

Рис.2

При расчете электрических цепей пользуются правилами Кирхгофа. Любая точка цепи, в которой сходится более двух проводников (см. рис.1), называется ”узлом”. В цепи постоянного тока потенциал любой точки, в частности, узла не изменится со временем. Токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а токи уходящие от узла- отрицательными. Первое правило Кирхгофа формулируется так алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть

(1)

Рис.1

где n - число токов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи и формулируется так в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме электродвижущих сил, действующих в этом контуре. Аналитически для замкнутого контура оно записывается так 

(2)

где n- число сопротивлений в замкнутом контуре l- число источников ЭДС, входящих в контур.

При составлении уравнений на основании второго правила Кирхгофа необходимо строго придерживаться правила знаков, суть которого состоит в следующем. Произвольно выбрав направление обхода контура (либо по часовой стрелке, либо против), считают токи, идущие вдоль выбранного направления обхода, отрицательными. Соответственно значения ЭДС источников, находящихся в рассматриваемом контуре считаются положительными, если направление обхода совпадает с направлением действия сил внутри ЭДС тоесть от “ - “ к “+“, и к отрицательным в противоположном случае.

При составлении системы уравнений следует учитывать, что если в сложной цепи имеется m узлов, то на основании первого правила Кирхгофа можно записать уравнения только для (m-1) узла, уравнения последнего m-го узла будет следствием предыдущих (m-1) уравнений. Если в сложной цепи имеется p ветвей (участков между узлами), то число независимых уравнений на основании второго правила Кирхгофа равно [p-(m-1)}. Остальные уравнения являются следствием предыдущих. Отметим, что выбирать контуры нужно так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в уже выбранные контуры.

При решении уравнений для токов могут быть получены отрицательные значения. Это обозначает, что фактически ток течет в направлении, обратном предлагаемому при анализе.

Рассмотрим широко распространенную схему- мост Уинстона, применяемую для точного измерения значений сопротивлений (см. рис.2). Четыре сопротивления R_x, R, R₁, R₂ образуют его плечи; в одну диагональ АС моста включена батарея с ЭДС  и сопротивлением r, в другую диагональ- гальванометр с сопротивлением r_Г. Подбором сопротивлений в плечах моста добиваются такого состояния схемы, при котором ток через гальванометр равен нулю. Такое состояние моста называется равновесием, а сам мост уравновешенным. Неизвестное сопротивление R_x определяется сопротивлениями R, R1, R2.

Для вывода расчетной формулы для R_x воспользуемся уравнениями Кирхгофа. Сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь. Токи в отдельных ветвях отмечены на рис.2.

Запишем систему уравнений по первому правилу Кирхгофа для узлов А, В, D  узел А. 1. I_б-I_x-I₁=0 ;

узел В. 2. I_x-I-I_Г=0 ; (3)

узел Д. 3. I_Г+I₁-I₂=0 .

Выделим в схеме (см. рис.2) замкнутые контуры АВDА, ВСDВ, АСЕА, тогда при обходе каждого из них по часовой стрелке можно составить систему уравнений по второму правилу Кирхгофа:

АВДА 4. I_xR_x+I_Гr_Г-I₁R₁=0 

ВСДВ 5. IR-I₂R₂-I_Гr_Г=0  (4)

ACEA 6. I₁R₁+I₂R₂+I_бr=+.

Решая системы уравнений, можно найти формулу для неизвестного сопротивления.

В состоянии равновесия системы уравнений (3) и (4) упрощается. Поскольку в равновесии (это достигается экспериментально подбором значений R, R₁, R₂) ток через гальванометр I_Г=0, то уравнения 2, 3 в системе (3) дают

I_x=I, I₁=I₂, (5)

а уравнения 4 ,5 в системе:

I_xR_x=I₁R₁ ; IR=I₂R₂. (6)

Из равенств (5) и (6) получаем:

Рис.4

.

Таким образом, для определения искомого сопротивления R_x в случае уравновешенного моста достаточно знать величину сопротивления R и отношение . Заметим, что величина ЭДС батареи, питающей мост, сопротивление батареи и гальванометра не учитывается при определении величины R_x. Данный метод является примером так называемого нулевого измерения электрических величин или методом сравнения.

2.Описание установки.

Рис.3

1. Название работы.

2. Контакты для подключения внешнего сопротивления, показанного на рис.4.

3. Встроенный источник питания.

4. Контакты вольтметра.

5. Вольтметр.

6. Тумблер сети.

7. Индикатор включения.

3.Методические указания.

ЭДС источника тока есть величина постоянная, не зависящая от состава цепи, в которую источник включается. Падение напряжения во внешней цепи U=IR для данной цепи и источника зависит от величины тока и сопротивления цепи. Пусть имеется цепь, показанная на рис.5. Напряжение измеряется с помощью вольтметра V.

Рис.5

Рис.6.

Сопротивление вольтметра выберем достаточно большое, чтобы его подключение в цепь не влияло на перераспределение токов и не изменяло потенциалов в цепи. Напряжение, показываемое вольтметром, зависит от силы тока в цепи: напряжение достигает наибольшего значения при разомкнутой цепи (тоесть ток в цепи равен 0) и стремится к нулю при уменьшении до нуля внешнего сопротивления (цепь короткозамкнутая). Напряжение меняется в зависимости от значения сопротивления внешней цепи. Это можно объяснить с помощью закона Ома. Напряжение, показываемое вольтметром, есть разность потенциалов между точками 1 и 2. Применяя закон Ома к однородному участку 3-4 цепи, имеем:

U₂₁=U₂=RI.

Но сила тока в цепи выражается законом Ома для замкнутой цепи:

где - ЭДС источника.

Поэтому

.

Из формулы видно, что напряжение на зажимах меньше ЭДС на величину rI, которая представляет собой падение напряжения внутри самого источника. Полученная формула показывает: чем больше внешнее сопротивление R по сравнению с внутренним сопротивлением r, тем меньше падения напряжения внутри источника и тем ближе значение U_R на зажимах 1 и 2 к значению ЭДС источника. В пределе, если цепь разомкнута, тоесть R>>r, то U. Это означает, что значение ЭДС равно значению напряжения на приборе. В связи с этим можно достаточно просто определить практически значение ЭДС.

Если подключить вольтметр к источнику ЭДС (рис.6.), то напряжение, которое покажет вольтметр, не будет равно ЭДС, так как вольтметр в этом случае будет служить внешней цепью. Однако, если сопротивление вольтметра велико (более 10⁶ Ом), то различие между показанием вольтметра и значением ЭДС будет незначительно; другими словами, при наличии высокоомного вольтметра можно определить значение ЭДС источника с достаточной степенью точности. Для точного определения ЭДС существуют специальные методы, например компенсационный метод.

Рис.7

Для проверки законов Кирхгофа предлагается проанализировать схему, изображенную на рис.7. Для измерения падения напряжения на отдельных участках цепи используется вольтметр, внутреннее сопротивление которого значительно больше, чем сопротивление участков цепи.

Внутренними сопротивлениями источников r₁ и r₂ можно пренебречь, поскольку они гораздо меньше сопротивлений участков цепи. Пользуясь измеренными значениями падения напряжения на участках цепи и зная сопротивления этих участков (измерив их экспериментально или по номиналу), можно вычислить величины токов I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Подставив экспериментальные данные в уравнения Кирхгофа (1), (2), производят проверку правил Кирхгофа.

4.Измерения и обработка результатов.

1. Проанализировать схему (Рис.7). С разрешения преподавателя включить питание схемы.

2. Определить значения параметров схемы: R1, R2, R3, R4, R5, __. Значения параметров схемы следует определять таким образом, чтобы исключить их влияние друг на друга. В частности значения _ и _ должны быть определены без внешних сопротивлений R1 и R5.

3. Поставить на место R1 и R5. Измерить вольтметром падение напряжения на всех сопротивлениях. Определить направления токов в них, учитывая расположения клемм «+» и «-» на вольтметре при его подключении. Если при подключении прибора стрелка зашкаливает влево, то на клемму «+», очевидно, подан отрицательный потенциал.

4. Обесточить установку.

5. Направления токов и их значения указать на схеме, начерченной в отчете. Определить значения токов по известным значениям напряжений и сопротивлений в цепи.

6. Зная направления токов и их величины, проверить справедливость правила Кирхгофа [см. Формулу (1)] для различных узлов, указанных преподавателем. Например, для узла B (Рис.7) должно быть I₁-I₂-I₄-I₅=0. Согласно правилу Кирхгофа для узла G

(7)

Величины V₁,V₂, V₃ измеряют с помощью вольтметра, имеющего инструментальную погрешность V_пр (определяют с учетом класса точности прибора). Величины R₁, R₂, R₃ заданы в табличной форме, погрешность определения R равна единице последнего разряда числа (например, R=20 Ом, R=1 Ом). Следовательно, практически сумма токов [см. Формулу (7)] может не равняться точно 0. Величина суммы токов может отличаться от нуля не более чем на величину

7. Проверить справедливость правила Кирхгофа. Из формулы (1) следует:

(8)

Так как значения ЭДС и напряжений измеряются с помощью вольтметра, имеющего инструментальную погрешность V_пр, то левая часть формулы (8) может отличаться от нуля, но не более чем на величину

.

Конкретный контур, для которого необходимо провести проверку, задается преподавателем.

7. Проанализировать полученные результаты.

Таб.1

Участок цепи	, Ом	, В	I., А
AK
BG
...........................
...........................

Таб.2

Индекс узла	Выбран­ный узел	, А	1	Выбран­ный контур	, В		2
A	Указать	Сумма	Рас-	Указать	Ука-	Сумма	Рас-
B	конкрет-	экспери-	чет	контур	зать	экспери-	чет
C	но токи	менталь-	по		Кон-	менталь-	по
D	в узле	ных зна-	фор-		кретно	ных	фор-
........		чений Ik	му-		в кон-	значений	му-
........			ле		туре		ле

Лабораторная работа № 2

Изучение электростатического поля при помощи электролитической ванны

1.Теория.

Электростатическое поле является частным случаем электрического поля. Оно создается заряженными телами, когда тела и заряды на них неподвижны. Электростатическое поле на них характеризуется в каждой точке вектором напряженности Е и потенциалом .

Рис. 1 Рис. 2

Напряженность в данной точке поля есть векторная физическая величина, равная силе, с которой электростатическое поле действует на единичный пробный точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, и является, таким образом, силовой характеристикой поля.

Из определения напряженности следует, что

где q - положительный точечный заряд;

F- сила, с которой электростатическое поле действует на заряд q в данной точке поля.

Напряженность поля в данной точке поля зависит от заряда тела, создающего поле, и от расположения данной точки относительно этого тела.

Например, для поля, созданного равномерно заряженной сферой радиуса R, напряженность поля в вакууме на расстоянии r от центра сферы при rR, будет

где Q- заряд сферы;

r- радиус - вектор, проведенный из центра сферы в данную точку сферы;

₀ - электрическая постоянная.

Потенциал данной точки поля есть скалярная физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля при перемещении единичного точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную, причем потенциал последней принимается за нуль.

Следовательно, потенциал данной точки поля является энергетической характеристикой поля и определяется формулой

где А- работа по перемещению точечного положительного заряда q из данной точки поля в бесконечно удаленную.

Потенциал точки поля зависит от заряда тела, создающего поле, и от расстояния, где эта точка находится.

Например, для поля, созданного равномерно заряженной сферой радиуса R, потенциал поля в вакууме на расстоянии r от центра сферы при rR равен

где Q- заряд сферы,

r- расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки поля.

Для графического изображения электростатического поля используют силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Силовой линией электростатического поля называется линия, в каждой точке которой вектор напряженности касателен к ней.

Эквипотенциальные поверхности- это поверхности с одним и тем же значением потенциала.

Рис. 3а Рис.3б

Силовые линии ортогональны к эквипотенциальным поверхностям. Например, в случае равномерно заряженной сферы (см. рис.1) эквипотенциальные поверхности являются концентрическими сферами, центр которых совпадает с центром заряженной сферы, а силовые линии направлены по радиусам этих сфер. В случае бесконечной равномерно заряженной плоскости (см. рис.2) эквипотенциальные поверхности- это плоскости, параллельные заряженной плоскости, а силовые линии перпендикулярны к ним. В силу ортогональности силовых линии и эквипотенциальных поверхностей можно по силовым линиям поля найти поверхности равного потенциала и, наоборот, зная эквипотенциальные поверхности, можно построить силовые линии поля.

В данной работе силовые линии поля находятся по эквипотенциальным линиям- линиям пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью чертежа.

Если для точек некоторой силовой линии плоского электростатического поля известна зависимость потенциала  от расстояния l вдоль силовой линии, то можно найти зависимость напряженности Е в этих точках от расстояния l. Для этого необходимо использовать соотношение:

,

где grad – градиент потенциала, модуль которого

Пусть функция (l) вдоль выбранной силовой линии изменяется так, как показано на рис.3а (участок OB криволинейный, участок BC прямолинейный). На участке от О до l. Возрастает как потенциал , так и grad , равный Е растет тангенс угла касательной на участке от l до l потенциал  возрастает, но grad =const.

По графику зависимости l рис.3а можно построить график зависимости Еl рис.3б.

Для нахождения Е в некоторой точке l необходимо в некоторой точке А графика рис.3а провести касательную и определить отношение для этой касательной.

Следует обратить внимание, что построенный график рис.3б не проходит в данном случае через начало координат О потому, что касательная к графику l в начале координат О рис. 3а не совпадает с осью l.

2.Экспериментальная часть.

Рис. 4

Непосредственное экспериментальное изучение электростатического поля неподвижных зарядов затруднительно. Поэтому изучение электростатического поля системы заряженных тел заменяется изучением электростатического поля в однородной проводящей среде - электролите, заполняющем пространство между металлическими электродами, подключенными к источнику напряжения u. В данной работе используется переменный ток, так как при использовании постоянного начинается электролиз, что влияет на чистоту эксперимента.

Если с помощью этого источника поддерживать между электродами разность потенциалов, то электростатическое поле между электродами в силу однородности электролита будет идентично полю между электродами в отсутствие электролита.

В данной работе используется экспериментальная установка, схема которой представлена на рис.4

В кювету 1, наполненную электролитом, погружены металлические электроды 2 и 3 заданной конфигурации. К электродам подводится переменное напряжение U. Вольтметр V подключен к одному из электродов и к зонду 4 - металлическому проводнику в изоляции с оголенным концом. Цифрой 5 на схеме обозначен генератор переменного тока.

Помещая острие зонда в заданную точку поля (при этом острие зонда надо направить по нормали ко дну кюветы), можно по показанию вольтметра определить потенциал  этой точки, а по координатной сетке (миллиметровой бумаге), находящейся под дном кюветы 1, найти ее координаты.

3.Методические указания.

Изучение электростатического поля между заряженными проводниками

1. Собрать схему установки (рис. 4).

2. Кювету 1 наполнить электролитом так, чтобы металлические электроды 2 и 3 были погружены в электролит.

Примечание: В качестве электролита используется вода. Уровень воды не должен превышать 3-4 мм, чтобы кончик проводника 4 не скрывался под водой полностью.

3. Прежде, чем приступить к измерениям на генераторе сигналов надо установить такое выходное напряжение, чтобы  не превышал max значения шкалы вольтметра.

4. С помощью зонда 4 определить потенциалы электродов 2 и 3 (_min=0 и _max). Определить координаты точек 2 и 3. Полученные данные внести в таблицу.

,B	x1,y1	x2,y2	x3,y3	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	xn,yn
0				. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .
. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .
max				. . . . . .	. . . . . .	. . . . . .

5. В эту же таблицу внести найденные с помощью зонда 4 координаты точек не менее 10 эквипотенциальных линий, выбрав значения потенциалов таким образом, чтобы эти линии были примерно равномерно распределены в пространстве между электродами. Количество точек на каждой линии взять не меньше десяти.

6. По данным таблицы на отдельном листе миллиметровки построить эквипотенциальные линии. Цвет эквипотенциальных линий (включая линии, по которым расположены электроды 2 и 3) и цвет силовых линий выбрать различным. Силовые линии рекомендуется строить, начиная с точек, лежащих на электроде, и в точках пересечения силовых и эквипотенциальных линий не допускать нарушения их ортогональности. Силовые линии должны начинаться и оканчиваться на электродах, но не пересекать их.

7. Из семейства силовых линий выбрать наиболее простую по форме (например, прямую) силовую линию, для которой необходимо построить график зависимости потенциала  от расстояния l вдоль нее. За начало отсчета расстояния l принять электрод с нулевым потенциалом.

Примечание: Для того, чтобы точнее построить этот график, необходимо с помощью зонда 4 найти потенциалы возможно большего числа точек вдоль выбранной силовой линии, например, прозондировать выбранную линию через каждый сантиметр. Полученные при этом значения l и  занести в дополнительную таблицу.

8. По полученному в п. 7 графику (l) построить график Е(l) (см. пояснения к рис. 3а и 3б).

4.Контрольные вопросы.

1. Что называется напряженностью Е электростатического поля?

2. В каких единицах измеряется Е?

3. Что называется потенциалом  электростатического поля?

4. В каких единицах измеряется ?

5. Какая существует связь между напряженностью Е и потенциалом ?

Лабораторная работа № 3

Исследование параллельного RLC-контура в режиме вынужденных и затухающих колебаний