Министерство образования и науки РФ

ГОУ ВПО

Российский государственный торгово-экономический университет

Казанский институт

_______________________________________________________

Кафедра информатики и высшей математики

ТАЛЫЗИН В.А.

Руководство для выполнения контрольной работы по эконометрике

Учебное пособие

КАЗАНЬ-2011г.

Тема 1. Парная регрессия

1.1. Линейная парная регрессия

Расчетные формулы

1. Оценки коэффициентов модели:

, ,

, , , .

2. Выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:

.

3. Выборочный коэффициент парной корреляции:

.

4. Средний коэффициент эластичности:

.

5. Коэффициент детерминации:

.

6. Дисперсионное отношение Фишера (-критерий):

.

7. Остаточная сумма квадратов отклонений:

.

8. Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

9. Стандартная ошибка уравнения регрессии:

.

10. Стандартные ошибки параметров регрессии:

.

1.11 статистики Стьюдента параметров уравнения:

.

1.12 Предельные ошибки коэффициентов уравнения, которые с вероятностью (1-), где уровень значимости, не будут превышены:

.

1.13 Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:

.

1.14 Стандартная ошибка индивидуального прогнозного значения результирующего признака:

.

1.15 Доверительный интервал для прогнозного значения:

.

Решение типовой задачи.

В таблице 1.1 приводятся данные о заработной плате (, долл.) и возрасте (, лет) по 20 рабочим.

Табл. 1.1

	300	400	300	320	200	350	350	400	380	400
	29	40	36	31	23	45	38	40	50	47

	250	350	200	400	220	320	390	360	260	250
	28	30	25	48	30	40	40	38	29	25

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи и .

2. Построить линейную регрессионную модель зависимости заработной платы от возраста рабочего, вычислить средний коэффициент эластичности, определить коэффициент детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации и оценить точность модели.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и модели в целом, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.

4. Выполнить прогноз заработной платы для 33-летнего рабочего, оценить точность прогноза, рассчитав стандартную ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п
1
20
Сумма
Среднее

Введем исходные данные , в таблицу по столбцам.

Построим поле корреляции при помощи Мастера диаграмм (тип – Точечная диаграмма) и выполним визуальный анализ типа зависимости.

Поле корреляции

По виду поля корреляции можно сделать вывод о том, что форма связи переменных и может быть как линейной, так и нелинейной.

2. Рассчитаем колонки , , расчетной таблицы. Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Выполним расчет параметров уравнения регрессии по формулам 1.1:

, .

В итоге линейная модель имеет вид:

.

Коэффициент регрессии показывает, что в среднем заработная плата растет на доллара при увеличении возраста рабочего на 1 год.

Найдем значения выборочных дисперсий и СКО по формулам 1.2:

, , , .

Определим выборочный коэффициент корреляции по одной из формул 1.3: .

Коэффициент парной корреляции по шкале Чеддока является высоким, что свидетельствует о существенной зависимости з/п от возраста рабочего.

Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле 1.4:

.

Он показывает, что при увеличении возраста рабочего на 1 % от среднего значения з/п в среднем возрастает на 0,799%.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле 1.5:

.

также близок к единице и по нему следует, что з/п на 72% объясняется таким фактором, как возраст рабочего.

Вычислим предсказанные моделью значения з/п по формуле

и тем самым заполним колонку расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки и их квадраты . В итоге в строке "Сумма" таблицы определится остаточная сумма квадратов .

Проверим качество модели по средней относительной ошибке аппроксимации, вычислив по формуле 1.8. Для этого в первой строке колонки набираем с использованием функции ABS(…) формулу: =ABS()*100. После протяжки по всему столбцу вычисляем среднее значение данного столбца:

=.

По видно, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 10,2%, что говорит о допустимом качестве модели по этому критерию.

Далее построим график линейной функции на поле корреляции с помощью Мастера диаграмм и убедимся, что МНК дал хорошие результаты аппроксимации.

Поле корреляции с линейной регрессией

3. По формулам 1.9 и 1.10 найдем стандартные ошибки уравнения регрессии и его параметров:

, ,

, .

Рассчитаем статистики Стьюдента по формулам 1.11:

, , .

Обратим внимание на то, что , а .

Найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(…) табличное значение по уровню значимости и числу степеней свободы . Сравнение расчетных значений с табличным указывает на статистическую значимость параметров и . Параметр же не является значимым, поскольку .

Доверительные интервалы строим только для коэффициентов модели, точечные оценки которых являются статистически значимыми. В нашем случае – только для коэффициента регрессии :

; ; ;

.

Рассчитаем критерий Фишера по формуле 1.6:

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод об адекватности построенной модели.

4. Получим прогнозную заработную плату для 33-летнего рабочего по найденной линейной модели:

(долл.).

Вычислим стандартную ошибку прогнозного значения по формуле 1.14:

.

Находим 95% доверительный интервал для прогнозного значения з/п 33-летнего рабочего с использованием формулы 1.15:

,

.

Таким образом, заработная плата 33-летнего рабочего с вероятностью 0,95 находится в пределах от 220,38 до 382,27 долларов.