Тема 3. Временные ряды

Расчетные формулы.

3.1.

3.1. Выборочный коэффициент автокорреляции го порядка:

.

3.2. Выборочная автокорреляционная функция:

3.3. Коррелограмма – график выборочной автокорреляционной функции .

1

0

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 9.1

Рис. 3.3

Рис. 3.4

На рис. 3.1 чередуются затухающие положительные и отрицательные значения . Это характерно для стационарного ряда.

Наблюдаются незначительные, малые значения близкие к нулю. Это полностью случайный ряд без тренда и циклических компонент (рис. 3.2).

На рис. 3.3 коррелограмма представляет убывание положительных значений . Здесь ряд имеет тренд и не является стационарным.

Если на коррелограмме после периода затухания имеется одно или несколько сравнительно больших по абсолютной величине значений , то ряд помимо тренда имеет циклическую компоненту с периодом (рис. 3.4).

Моделирование тенденции ряда непосредственно по исходным данным выполняется только в том случае, когда отсутствует циклическая компонента ряда.

Аналитическое выравнивание

3.4. Для аналитического выравнивания (сглаживания) временного ряда используются различные модели тренда:

- линейный ;

- параболический ;

- гиперболический и т.д.

3.5. Факторная сумма квадратов:

.

3.6. Остаточная сумма квадратов:

.

3.7. статистика Фишера:

,

Механическое выравнивание

3.8. В методе скользящей средней для интервала сглаживания с нечетным числом точек среднее значение ряда находится по формуле:

.

Для интервала сглаживания с четным числом точек вначале находятся скользящие средние

для промежуточных значений уровней ряда, а затем выполняется центрирование скользящих средних

для приведения их к фактическим значениям уровней исходного ряда.

В любом случае в методе скользящей средней число уровней сглаженного ряда уменьшается на значений по сравнению с исходным рядом.

3.9. Критерий Дарбина-Уотсона

.

3.10. Выборочный коэффициент автокорреляции

.

3.11. Из таблиц теста Дарбина-Уотсона при заданном уровне значимости , количестве наблюдений и числе объясняющих переменных находятся два критических значения: . Возможны следующие случаи:

- если , то имеется положительная автокорреляция;

- если , то имеется отрицательная автокорреляция;

- если , то признается отсутствие автокорреляции;

- если или , то тест ответа не даёт.

зона зона

неопредел. неопредел.

0

2

4

Решение типовой задачи.

В таблице 3.1 приводятся данные об объеме инвестиций (, млн. долл.) за последние 16 лет по одному из регионов страны.

Табл. 3.1

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,72	3,57	7,45	8,59	9,52	10,66	10,55	15,14

	9	10	11	12	13	14	15	16
	17,05	20,46	20,03	27,52	31,72	36,34	42,59	43,51

Требуется:

1. Найти выборочные коэффициенты автокорреляции до 4-го порядка включительно, построить коррелограмму и по коррелограмме выявить тип процесса.

2. Полагая тренд линейным, найти его уравнение и проверить значимость полученного уравнения по критерию на уровне значимости .

3. Выполнить сглаживание временного ряда с интервалами сглаживания и года.

4. На уровне значимости выявить наличие или отсутствие автокорреляции возмущений, используя критерий Дарбина-Уотсона.

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Вычислим выборочные коэффициенты автокорреляции до 4-го порядка включительно (). Для этого сформируем 4 расчетные таблицы для следующей структуры:

№ п/п
1
Сумма

Заполним таблицу для вычисления , т.е. при :

№ п/п
1	1	1,72	2,9584	3,57	12,7449	6,1404
2	2	3,57	12,7449	7,45	55,5025	26,5965
3	3	7,45	55,5025	8,59	73,7881	63,9955
4	4	8,59	73,7881	9,52	90,6304	81,7768
5	5	9,52	90,6304	10,66	113,6356	101,4832
6	6	10,66	113,6356	10,55	111,3025	112,463
7	7	10,55	111,3025	15,14	229,2196	159,727
8	8	15,14	229,2196	17,05	290,7025	258,137
9	9	17,05	290,7025	20,46	418,6116	348,843
10	10	20,46	418,6116	20,03	401,2009	409,8138
11	11	20,03	401,2009	27,52	757,3504	551,2256
12	12	27,52	757,3504	31,72	1006,158	872,9344
13	13	31,72	1006,158	36,34	1320,596	1152,705
14	14	36,34	1320,596	42,59	1813,908	1547,721
15	15	42,59	1813,908	43,51	1893,12	1853,091
Сумма	120	262,91	6698,31	304,7	8588,471	7546,653

Вычислим по формуле 3.1:

.

Далее заполним таблицу для вычисления , т.е. при :

№ п/п
1	1	1,72	2,9584	7,45	55,5025	12,814
2	2	3,57	12,7449	8,59	73,7881	30,6663
3	3	7,45	55,5025	9,52	90,6304	70,924
4	4	8,59	73,7881	10,66	113,6356	91,5694
5	5	9,52	90,6304	10,55	111,3025	100,436
6	6	10,66	113,6356	15,14	229,2196	161,3924
7	7	10,55	111,3025	17,05	290,7025	179,8775
8	8	15,14	229,2196	20,46	418,6116	309,7644
9	9	17,05	290,7025	20,03	401,2009	341,5115
10	10	20,46	418,6116	27,52	757,3504	563,0592
11	11	20,03	401,2009	31,72	1006,1584	635,3516
12	12	27,52	757,3504	36,34	1320,5956	1000,0768
13	13	31,72	1006,1584	42,59	1813,9081	1350,9548
14	14	36,34	1320,5956	43,51	1893,1201	1581,1534
Сумма	105	220,32	4884,4014	301,13	8575,7263	6429,5513

Вычислим по формуле 3.1:

.

Выполняя аналогичные вычисления, находим остальные коэффициенты автокорреляции:

,

.

По итогам вычислений построим таблицу:

L	r(L)
1	0,9851704
2	0,9803119
3	0,9705136
4	0,9664745

По таблице при помощи Мастера диаграмм строим коррелограмму:

Отсюда следует предположить, что это коррелограмма нестационарного временного ряда с ярко выраженным трендом и отсутствием циклических колебаний.

2. Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

Табл. 3.2

№ п/п
1
16
Сумма
Среднее

Введем исходные данные в таблицу и рассчитаем колонки , . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Определяем параметры линейного тренда по формулам:

,

.

В итоге получено уравнение тренда:

.

Вычислим поученные по модели , значения зависимой переменной и заполним колонку расчетной таблицы.

Далее выполняем расчет величин и . Из строки «Сумма» столбца выписываем значение остаточной суммы квадратов

.

По формуле 3.5 находим факторную сумму квадратов:

.

Наблюдаемое значение статистики определяем по формуле 3.7:

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о статистической значимости построенной модели.

3. Выполним механическое выравнивание по трем () и четырем точкам () с использованием формулы 3.8. Для этого сформируем расчетную таблицу со следующим титулом:

Табл. 3.3

Исходные данные		Сглаженные данные
		по 3 точкам	по 4 точкам

Заполним колонки , таблицы исходными данными.

Сглаживание по трем точкам выполним по формуле:

,

записывая её во второй ячейке колонки таблицы и с последующей протяжкой результата вычисления до 15 строки.

При сглаживании по четырем точкам вначале найдем скользящие средние по формуле:

.

Поскольку промежуточных уровней в таблице не предусмотрено, то задаем формулу во второй ячейке колонки с последующей протяжкой результата вычислений до 14 строки.

Затем попарно их центрируем по формуле:

,

которую задаем в третьей ячейке колонки , а результат протягиваем до 14 строки. В итоге имеем:

Исходные данные		Сглаженные данные
		по 3 точкам	по 4 точкам
1	1,72
2	3,57	4,246666667	5,3325
3	7,45	6,536666667	7,2825	6,3075
4	8,59	8,52	9,055	8,16875
5	9,52	9,59	9,83	9,4425
6	10,66	10,24333333	11,4675	10,64875
7	10,55	12,11666667	13,35	12,40875
8	15,14	14,24666667	15,8	14,575
9	17,05	17,55	18,17	16,985
10	20,46	19,18	21,265	19,7175
11	20,03	22,67	24,9325	23,09875
12	27,52	26,42333333	28,9025	26,9175
13	31,72	31,86	34,5425	31,7225
14	36,34	36,88333333	38,54	36,54125
15	42,59	40,81333333
16	43,51

Результаты сглаживания представим в следующих графиках.

Как видно из графиков, сглаживание по 4 точкам оказывается более предпочтительным.

4. Добавим к таблице 3.2 следующие колонки: .

Первые 15 значений колонки переносим в колонку , начиная с её второй строки с помощью команд: Копирование / Специальная вставка / Значения. Далее по соответствующим формулам заполняются остальные колонки таблицы.

et-1	et-et-1	(et-et-1)^2	etet-1
3,13375	-0,892	0,795664	7,02508
2,24175	1,138	1,295044	7,57655
3,37975	-1,602	2,566404	6,00835
1,77775	-1,812	3,283344	-0,06089
-0,03425	-1,602	2,566404	0,05604
-1,63625	-2,852	8,133904	7,3439
-4,48825	1,848	3,415104	11,8501
-2,64025	-0,832	0,692224	9,16761
-3,47225	0,668	0,446224	9,73706
-2,80425	-3,172	10,06158	16,7589
-5,97625	4,748	22,5435	7,34033
-1,22825	1,458	2,125764	-0,28219
0,22975	1,878	3,526884	0,48426
2,10775	3,508	12,30606	11,8366
5,61575	-1,822	3,319684	21,3048
3,79375	-3,7938	14,39254	-8,8E-14
Сумма	-3,1338	91,47034	116,146

Отметим, что первые строки всех добавленных колонок, начиная с колонки , будут пустыми. В строке «Сумма» находим необходимые данные:

,

и по формуле 3.9 находим значение критерия Дарбина-Уотсона:

.

С использованием формулы 3.10 определяем выборочное значение коэффициента автокорреляции:

.

По значениям 0,05, 16, 1 из таблицы теста Дарбина-Уотсона находим критические точки: . Поскольку , то по правилу 3.11 устанавливаем наличие положительной автокорреляции и в остатках. При этом выборочный коэффициент автокорреляции в остатках составляет величину .

Задания для самостоятельной работы.

Задача 3. В таблице 3 приведены данные, отражающие спрос (в усл. ед.) на некоторый товар за 16 лет по одному из микрорайонов г Казани.

Год	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Значение спроса по годам
1	225	188	220	165	198	170	212	209	193	223
2	187	221	177	234	232	245	189	185	198	238
3	302	258	312	198	267	211	234	229	235	265
4	319	314	309	246	322	251	268	261	213	245
5	328	326	338	321	328	344	254	249	290	321
6	379	318	368	376	365	384	290	287	316	365
7	361	376	342	348	358	348	345	340	287	307
8	373	348	387	356	381	391	344	357	346	389
9	387	361	368	367	369	388	356	347	323	391
10	381	370	373	365	392	397	361	355	378	399
11	398	382	397	369	404	399	359	369	391	389
12	405	388	399	378	411	406	374	377	398	410
13	421	385	404	382	409	413	381	371	386	423
14	418	397	412	388	418	418	388	385	390	418
15	427	394	409	395	414	409	394	390	408	432
16	432	403	421	399	423	421	400	396	406	441

Требуется:

1. Найти выборочные коэффициенты автокорреляции до 4-го порядка включительно, построить коррелограмму и по коррелограмме выявить тип процесса.

2. Полагая тренд линейным, найти его уравнение и проверить значимость полученного уравнения по критерию на уровне значимости .

3. Выполнить сглаживание временного ряда с интервалами сглаживания и года.

4. На уровне значимости выявить наличие или отсутствие автокорреляции возмущений, используя критерий Дарбина-Уотсона.

Приложение