104

II. Основания математики. Универсум не есть множество

С этой главы мы приступаем к систематическому изучению философского содержания фундаментальных проблем в основаниях современной науки, прежде всего в основаниях математики и физики ввиду очевидной выделености этих двух наук в системе нашего знания о мире. Математика – это универсальный язык современной науки и, как говаривал еще И. Кант, в науке ровно столько знания, сколько в ней математики. А физика – это фундамент всего нашего знания о природе.

Но помимо этого внешнего имеется еще и глубокое внутреннее оправдание обращения к изучению философских проблем в основаниях математики и физики. Существует замечательный "параллелизм" в развитии оснований науки и философии. Можно вообще не знать философии или забыть ее, но собственное развитие оснований научного знания самостоятельно и независимо от философии воспроизводит основную философскую проблематику в своей собственной истории, в столкновении и развитии лежащих в его основании мировоззренческих концепций. Это свидетельствует о глубокой неразрывной связи оснований точного знания и философии. Более того, история научного познания – есть живительный источник и основание развития философского познания.

Суть драмы европейского познания состоит в расколе бытия на два мира: мир субъективной духовности и внешний мир природного бытия. При этом могущественный европейский рационализм взращенный на столетиях блистательных побед в познании природного универсума, очень часто казался берущим последнюю вершину в окончательном, бесповоротном и исчерпывающем познании природы. А внутренний мир духовной субъективности до того истончался в этом процессе и локализовался в столь ограниченной области, что и его полное завоевание духом рационализма казалось только делом времени. Между тем обнаружилось, что в действительности даже внешний мир природного бытия в конечном счете оказался недоступной твердыней для самих изощренных методов ерропейского рационализма. Об этом лучше всего свидетельствуют завоевания и неудачи универсального языка сов­ременной науки – математики.

В конце XIX - начале XX веков математика, главным образом благодаря усилиям Г. Кантора перешла на язык теории множеств. Согласно этому языку не только физический мир, но и интеллегибельный мир математической интуиции и воображения есть мир множеств. "Все есть мно­жества" начертано на знамени этой новой теоретико-множественной идео­логии современной науки. И один единственный элемент есть множество, состоящее из одного элемента, и отсутствие какого-либо элемента также есть множество – пустое множество. С этой точки зрения в мире нет ни­чего, кроме множеств. И универсум – как физический, так и умственно постигаемый – есть множество и только множество. Однако, действитель­но ли универсум представим в виде множества и исчерпывается этим понятием? В начале обратимся к интеллегибельному универсуму матема­тики.

1. Парадоксы теории множеств и их эпистемологический смысл

Как хорошо известно, в математике понятие множества (многого) не поддается какому-либо формальному определению в силу его пре­дельной общности. Именно поэтому математики вынуждены просто исхо­дить из его интуитивного смысла, более или менее удачно проясня­емого с помощью различного рода примеров собраний, коллекций, сово­купностей и т. п. Например, можно говорить о множестве книг в шкафу, множестве студентов в аудитории, множестве планет солнечной системы, множестве натуральных чисел и т. п. Г. Кантор интуитивно определил множество как любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое собрание, т. е. такое собрание объектов, в котором они объединены каким-то общим признаком или свойством. Сами же объекты, входящие в это собрание, Кан­тор назвал элементами. Мы знаем, что определить какое-то понятие – это значит подвести его под такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида. Но "множество" – это предельно широ­кое по объему понятие, и поэтому для понятия "множество" уже нельзя найти более широкое, родовое понятие, в которое "множество" входило бы в качестве вида. Вот почему понятие "множество" остается неопре­делимым в математике и логике.

В диалектической логике, напротив, со времен Гегеля существует возможность определить понятие множества, однако, разумеется, лишь тем своеобразным и единственным путем, сущность которого состоит в указании на ему противоположное понятие – понятие единого, которое выступает как полное и всестороннее отрицание многого и всякой мно­жественности. В рамках диалектической логики мы знаем, что такое множество, лишь постольку, поскольку в нашем языке присутствует ему противоположное понятие – понятие единого (как неделимого и неразложимого на множества). И наоборот: то же самое справедливо в отношении понятия единого. В этом состоит суть диалектического определения понятия через его отрицание: все диалектические пары категорий опре­деляются через отношение взаимного отрицания и взаимного исключения, их разделяющего и в то же время их объединяющего. Заметим, что с точки зрения диалектического языка понятие множества неразрывно свя­зано с понятием единого. Впрочем, это характерно даже для обыденного языка, в чем легко убедиться, обратившись к толковым и этимологиче­ским словарям. Например, в "Толковом словаре русского языка" Д. Н. Ушакова¹ слово "единство" разъясняется как "неделимость", "отсутствие дробления", "целостность", т. е. фактически через отрицание множест­венности.

Если принять во внимание эти весьма общие соображения, то становится очевидным, что односторонние утверждения об универсуме как о чем-то исключительно множественном (или наоборот – некоторой недели­мой целостности) будут, вообще говоря, некорректными. Следовательно, уже в нашем языке предвосхищена необходимость такого взгляда на мир, в котором бы свойства реальности быть чем-то множе­ственным и, с другой стороны, – неразложимым на многое находились в отношении взаимной дополнительности и единства. В следующей главе мы увидим, что эта диалектическая концепция реальности находит полное подтверждение в современной физической науке.

В философии в рамках теории диалектики категорий множественного и единого необходимо различать два аспекта содержания категории еди­ного:

1. Дескриптивное единство, выражающее отношения тождества, равенства, сходства или общности той или иной (веществен­но-субстратной, генетической, функциональной, пространственно-вре­менной и т. д.) связи элементов в их множестве.

Это понимание содержания категории единого определяется как дескриптивное в том смысле, что оно включает в себя все те моменты единства (скорее даже общности), на основании которых достигается описание некоторой совокупности (или множества) объектов как объеди­ненных по какому-либо закону, признаку, свойству и т. п. Именно в этом смысле, следуя Г. Кантору, мы обычно говорим о единой совокупно­сти, едином множестве и т. п.

Этот способ объединения элементов в множества был использован так Кантором: "под многообразием, или множеством, – писал он, – я пони­маю вообще всякое многое, которое можно осмыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона'' .

В целом такое, получившее наибольшее распространение в совре­менной науке, представление о содержании категории единого отражает объективную возможность объединения отдельных предметов в некоторую единую совокупность на основании какого-либо из выше перечисленных аспектов и, как правило, соответствует эмпирическому уровню познания.

Однако в рамках такого подхода содержание категории единого оказывается всецело подчиненным категории множественности: каждый раз мы лишь выявляем некоторый аспект единства в множестве объектов, но при этом сам аспект множественности остается выделенным и абсо­лютным – как основание для установления или обнаружения этого дес­криптивного единства. Здесь, следовательно, неявно абсолютизируется множественная сторона реальности, как якобы единственная и исчерпывающая собой ее всеобщая определенность, и единство устанавлива­ется (или прослеживается) лишь на следующем этапе – в результате простого обобщения свойств элементов исследуемой совокупности.

Так абсолютизировав множественность и ограничившись прослеживанием лишь дескриптивного аспекта единства в множественности, мы в силу этого не доводим понимание диалектики категорий множественного и единого до осознания их как взаимоисключающих, противоположных, друг по отношению к другу.

2. В связи с этим оказы­вается необходимым выделить еще один логический аспект содержания категории единое—единое как полное и всестороннее отрицание всякой множественности. Единое как такое, которое ни в каком смысле не является многим, но в то же время обуславливает и делает возможным само существование многого (как равно и наоборот: многое ведет к единому, выступающему отрица­нием множественности, и делает возможным его). Очевидно здесь еди­ное предстает как такая определенность, которая фиксирует объективное свойство конечной неразделимости и неразложимости многого. Имея в виду это отрицание понятия множества (и состояния множественности) в таком высшем проявлении единства, мы будем обозначать его как целое, целое как не-многое (не-множество). Именно этот аспект содержания категории единства как целостности является ключевым для понимания многих проблем в основаниях современной науки.

Так в рамках оснований математической науки парадоксы теории множеств явно свидетельствуют о недопустимости односторонней абсолютизации понятия множества в гносеологическом плане. Действительно хотя это понятие является первичным и фундаментальным для всего математического знания, однако оно тот час же обнаруживает свою неуниверсальность, как только его пытаются распространить на область все­общего в познании. Именно в этом случае и возникают парадоксы. Рассмотрим некоторые из них.

В конце XIX века теория множеств, созданная в основном Г. Кантором, прочно утвердилась в математике как теоретический фундамент всего здания математической науки. Как отмечал Г. Вейль, математикам казалось, что все здание математическое науки приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях.

Однако, начиная с конца XIX века (1896 г. ), было открыто ряд парадоксов и антиномий в основании теории множеств.

Эти парадоксы в теории множеств возникают, как правило, в связи с обычным, ничем не ограниченным употреблением понятий кардинального числа, порядкового числа и алефа. Поясним содержание этих терминов.

Кардинальное число характеризует множество с точки зрения запаса (или богатства) его элементов, называемого так же мощностью множества. Оно обозначается с помощью первой буквы финикийского алфавита – алеф. Кардинальное число является обобщением понятия количественного числа на бесконечные множества. В силу того, что одно и то же бесконечное мно­жество можно по-разному упорядочить и каждый из типов упорядочения бу­дет отличаться от другого, в области бесконечных множеств, возникает необходимость в отделении понятия кардинального числа от порядкового (или трансфинитного) числа. А именно: конечное множество можно упорядочить единственным образом, например: {а, в} {в, а}, что будет одно и то же. Для конечных множеств кардинальное число, характеризующее мощность множества, совпадает с порядковым числом. Для бесконечного множества 1, 2, 3... возможны разные виды упорядочения:

а) 1, 2, 3,...

б) 2, 3,..., 1.

Они различа­ются хотя бы тем. что первый тип не имеет последнего элемента, а второй имеет.

Обобщение понятия порядкового числа для бесконечных множеств дает трансфинитное число. Для обозначения в приведенном выше примере первого типа упорядочения бесконечного множества натуральных чисел вводится число , тогда второй порядковый тип будет обозначаться +1. При этом было доказано, что хотя 1+=, но +1. Можно построить следую­щие типы упорядочения, характеризующиеся числами +2, +3, и т. д. Это и есть трансфинитные порядковые числа². И хотя эти числа разные и каждое из них характеризует различный тип упорядочения, однако все это от­носится к одному и тому же бесконечному множеству, обладающему одной и той же, в данном случае счетной мощностью и в этом отношении – характе­ризуемому одним и тем же кардинальным числом-алефом с индексом 0: А0

В создании учения о бесконечных числах Г. Кантор пользовался следующими тремя принципами построения чисел:

1-й принцип – тождественен обычному способу получения нового числа за счет прибавления к данному числу единицы, это тот принцип, с помощью которого получаются трансфинитные порядковые числа: +1, +2, .... +n.

2-й принцип – построения чисел определяется Г. Кантором следующим образом:

"Если дана какая-нибудь определенная последовательность определенных целых реальных чисел, среди которых нет наибольшего числа, то создается новое число, которое мыслят как предел этих чисел, т. е. которое определяют как первое большее всех их число". Таким путем, например, мы по­лучаем число , логическая функция которого состоит в полагании всей совокупности натурального ряда чисел как данной в завершенном виде

1, 2, 3, ..... .

Очевидно, что переход от конечных чисел к трансфинитным, оказывается возможным как раз благодаря применению второго принципа порождения трансфинитных чисел. Однако последующее развертывание трансфинитных порядковых чисел в результате попеременного обращения то к 1-му, то ко 2-му принципу порождения чисел дает неограниченно развертываю­щую совокупность трансфинитных чисел 1-го числового класса: , ..., +n ... + (т.е. 2) ., ... * (т.е. ^{2), ...} ^, ^ ...

3-й принцип . Ввиду этого обстоятельства к двум названным принципам построения чисел оказывается необходимым добавить третий принцип, названный Кантором “принципом стеснения” или "принципом ограничения", сущность которого состоит во введении какого-то "завершения" для стро­ительства порядковых трансфинитных чисел 1 числового класса. А именно Кантор предположил, это "процесс построения трансфинитных чисел с помощью первых двух принципов считается завершенным, если он привел к образованию совокупности чисел, мощность которой отлична от предыдущей, т. е. от А0.

Присоединение этого принципа к первым двум позволяет Г. Кантору завершить построение счетных трансфинитных чисел. Таким образом, вся совокупность трансфинитных порядковых чисел, каждое из которых является обозначением определенного типа упорядочения счетного множества, имеет как бы сво­им пределом некоторое новое трансфинитное число , которое, будучи большим любого из чисел 1 класса трансфинитных чисел уже не принадле­жит к ряду этих чисел и в то же время самим своим существованием как бы задает актуальное существование всей их совокупности. При этом Кантор показал, что вся совокупность чисел 1 класса трансфинитных порядковых, чисел неперечислима с помощью счетного множества и обладает мощностью большей счетной.

Как было сказано, понятие алефа было введено Кантором для обозначения мощности различных бесконечных множеств. Так, мощность самого "маленького" из бесконечных множеств – счетного множества – была обозначена через А0. Мощность следующего за ним (по богатству элементов) множества трансфинитных порядковых чисел 1 числового класса, которая является большей счетной, была обозначена через А1. При этом им было показано, что А1 возникает как результат возведения двойки в степень, обозна­чающую предшествующую мощность: А1=. Т. е., иными словами А1 возникает как мощность множества всех частей счетного множества. Применение этой операции к каждому вновь возникающему числу ведет к образованию так называемой шкалы (лестницы) алефов.

Существует теорема (теорема Кантора), согласно которой мощность множества всех частей некоторого множества мощности n равна 2ⁿ. Это оказалось справедливым и применительно к бесконечным множествам. Кантор был убежден, что в построенной им бесконечной иерархии алефов, каждый из которых получается при возведении 2 в степень, равную предыдущему алефу, представлены все алефы, какие только могут быть. Алефов, которые бы занимали промежуточное положение между "ступеньками" иерархии бесконечностей, по Кантору, просто не существует, как не существует и последнего "высшего” алефа.

Концепция актуальной бесконечности и различие "сечения" или "разрезы" в бесконечном, которые Кантор построил с помощью различных классов трансфинитных порядковых и кардинальных чисел, лежат как бы в основании созданной им теории множеств. Любопытной была реакция математиков на создание Кантором учения о бесконечных множествах.

Так Анри Пуанкаре назвал канторовскую иерархию бесконечных множеств "болезнью от которой математика должна излечиться", а Герман Вейль отозвался о последовательности "алефов" как о "тумане на тумане".

С другой стороны, Б. Рассел назвал теорию Кантора "величайшим достижением, которым, по-видимому, может похвастаться наш век”. Он написал в начале первого десятилетия нашего века статью, в которой восторженно отзывался о созданном Кантором учении и высказал мысль, согласно которой теория Кантора якобы раз и навсегда решила все извечные проблемы бесконечности, такие, например, которые были поставлены Зеноном в его апориях и т. п. Несмотря на оппозицию части математиков по от­ношению к теории множеств, и критику ее, в частности, и в связи с об­наружившимися в ее основаниях парадоксами, теория множеств прочно утвердилась в качестве основания современной математики, что позволи­ло одному из величайших математиков начала XX века Давиду Гильбер­ту заявить: "Никто не может изгнать нас из рая, созданного Кантором".

В настоящее время идеи Кантора нашли не только всеобщее признание, но и богатое и разнообразное применение. Одновременно прояснился и смысл тех парадоксов, которые связаны с самим понятием множества, и сегодня мы уже можем составить достаточно четкое представление о философском значении их.

Исторически первым парадоксом в основаниях теории множеств явился парадокс, опубликованный Бурали-Форти в 1897 г. (Кантор обнаружил его в 1895 и в 1896 сообщил Гильберту). Этот парадокс возникает при рассмотрения множества всех ординальных (или порядковых) чисел. Любое множество таких чисел расположенное в возрастающем порядке представляет собой вполне упорядоченное множество и следовательно, само характеризуется некоторым ординальным числом. Рассмотрим те­перь множество всех ординальных чисел, расположенных в возрастающем порядке, т. е. взятое в качестве вполне упорядоченного. Согласно определению это множество как множество всех ординаль­ных чисел должно включать в себя все возможные порядковые числа, а с другой стороны, – само существование этого множества всех поряд­ковых чисел как вполне упорядоченного ведет к появлению нового порядкового числа, характеризующего его тип упорядочения, причем такого, которое не входит в него. Но тогда оно не является множеством всех порядковых чисел. Иными словами, если взять множество всех поряд­ковых чисел как вполне упорядоченное, обозначить его порядковое (ординальное) число через Р и включить теперь само это ординальное число Р в множество всех порядковых чисел, то обнаруживается, что порядковое число, характеризующее это множество всех порядковых чисел, должно быть большим Р, а именно (Р+1). То есть, оно ока­зывается новым и отличным от всех ранее собранных в одном множе­стве порядковых чисел. По условию это число должно входить в множество всех порядковых чисел, и в это же время оно там не оказыва­ется. Если же мы его включим в множество всех порядковых чисел, то вслед за этим возникает новый порядковый тип для расширенного таким образом множества порядковых чисел. Таким образом, конструкция множества всех порядковых чисел оказывается внутренне противоречи­вой.

Но существует также парадокс и для наибольшего кардинального (т. е. "количественного") числа. Парадокс наибольшего кардинального числа (или парадокс Кантора) был обнаружен Г. Кантором в 1899 г., а опубликован при издании его трудов только в 1932 г. Рассмотрим множество всех множеств, обозначив его через М. Мощность такого множества должна быть больше мощности любого множества, так как по условию это множество образовано всеми возможными множествами, какие только могут быть. Но, если есть такое универсальное множество (множество всех множеств), то существует и множестве всех подмножеств данного множества. А оно, согласно теореме Кантора относительно мощности множество всех подмножеств любого данного множества, должно обладать мощностью большей мощности исходного множества. А именно теорема Кантора гласит, что мощность С множеств всех подмножеств любого множества мощности n больше n и равна 2ⁿ: C>n и C=2ⁿ.

Следовательно, множество всех множеств оказывается внутренне противоречивой конструкцией, ибо оно с одной стороны, должно обладать максимальной мощностью, а с другой, – как только допустим возможность его существования, – само это допущение сразу же и автоматически ве­дет к появлению множества еще большей мощности, а именно: множества всех подмножеств данного множества. Ситуация оказывается неразрешимой.

Еще один парадокс, парадокс Рассела - Цермело, опубликованный Расселом в 1903 г., но обнаруженный им в 1902 г. (в 1902 г этот парадокс обсуждался в Геттингене Цермело и математиками его круга) фор­мулируется так. Существуют множества, которые являются собственными элементами. Например, множество идей само может выражать некоторую идею и поэтому представляет собой собственный элемент. Но есть такие множества, которые не выступают как собственные элементы, например, множество книг в шкафу. Если теперь поставить вопрос о множестве всех множеств, не являющихся собственными элементами, то обнаружится, что такое множество существует лишь постольку, поскольку оно входит в себя как в свой собственный элемент (без чего оно не было бы множеством всех множеств, не являющихся собственными элементами). Но в таком слу­чае это множество не должно быть относимо к множествам, не являющимся собственными элементами, так как оно, оказывается, не удовлетворяет этому условию! Рассел придумал для этого парадокса его популярный вариант: деревенский брадобрей бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он себя? Как парикмахер, который бреет тех и только тех жите­лей своей деревни, которые не бреются сами, он не может брить себя. Но, если, он не бреет себя, то следовательно, он принадлежит к чис­лу тех жителей деревни, которые не бреются сами и которых он должен брить по условию. Задача – неразрешимая.

В последующее время был установлен ряд других парадоксов, близких к вышеприведенным.

Существуют различные способы объяснения этих парадоксов. Но нет – и это нужно подчеркнуть – радикального способа их разрешения или устранения. Различные аксиоматические системы теории множеств строятся таким образом, чтобы исключить возможность появления кон­струкций, ведущих к подобным парадоксам. В этом прежде всего сос­тоит ценность аксиоматического построения теории множеств. Объяснение парадоксов теории множеств с помощью представления о непредикативных определениях, предложенное Пуанкаре, состоит в следующем. Если множество М и элемент m определены таким образом, что с одной стороны, m является элементом М, а с другой стороны, – определение М зависит от m, то в таком случае определение М (или определение m) является непредикативным. Сущностью непредикативности оказывается невозможность получить раздельное и незави­симое определение элементов множества и множества, образованного этими же элементами. А. Пуанкаре считал, что причина парадоксов теории множеств лежит именно в этих непредикативных определениях. По мнению Рассела, источником парадоксов является наличие в них порочного круга.

Интересное объяснение парадоксам теории множеств дают А. Френкель и И. Бар-Хиллел: "Все антиномии, как логические, так и семантические, имеют общее свойство, которое грубо и нестрого мож­но определить как самоприменимость (или самоотносимость) (self-reference). В любой из этих антиномий та сущность, о которой в ней идет речь, определяется, или характеризуется, посредством некоторой совокупности, к которой она сама принадлежит. По-видимо­му, во всех приводящих к таким антиномиям рассуждениях есть некото­рый круг; и вполне понятно проявляющиеся стремления именно в этом видеть корень зла" [24, с. 24].

Однако далее авторы показывают, что есть бесчисленное множест­во самых обычных способов выражений, являющихся самоприменимыми и остающихся одновременно абсолютно безопасными и удобными. Например, характеристика какого-либо студента как самого высокого в группе является совершенно безопасной и эффективной, хотя такая характери­стика и делается при помощи совокупности, к которой принадлежит этот студент. Значит, не всякая самоприменимость ведет к парадоксам. Тогда – какая же и когда?

Если сравнить только что приведенный пример с парадоксом Рассела-Цермело, то, хотя на первый взгляд кажется, что эти два примера одинаково иллюстрируют самоприменимость, однако, при более пристальном их рассмотрении между ними оказывается существенное различие. Студент, характеризуемый как самый высокий в группе, действительно определяется через совокупность, к которой он принадлежит. Однако его отнесение к данной совокупности и само существование последней (способ задания ее) никак не связаны со свойством—ростом, – через посредство которого он теперь характеризуется.

Следовательно, в данном случае самоприменимого определения отнюдь нет ни порочного круга, ни той непредикативности, на которую ука­зывал Пуанкаре.

При формировании данной совокупности – академической группы – из числа подавших заявления и выдержавших экзамены абитуриентов – соображения, связанные с их ростом, никак не принимались во внима­ние. Между тем в примере с "деревенским брадобреем" имеет место самоприменимость совсем иного рода. В этом последнем случае обращение к самоприменимости содержит в себе порочный круг в силу того, что и определение (или формирование) данной совокупности на основании некоторого свойства, и определение элемента, который используется для установления (или определения) этого же самого свойства, принадлежат данному множеству. Иными словами, в данном случае то, что представляет собой элементы некоторой совокупности (их опреде­ленность), и то, посредством чего они определяются как таковые (т. е. благодаря чему или на основании чего выведена сама эта оп­ределенность), неделимым образом соединены в одном и том же элементе, без включения которого данная совокупность элементов не была бы замкнутой в себе совокупностью. Следовательно, все дело в особой природе конструкций, ведущих к парадоксам, а именно – в свойстве взаимозависимости и замкнутости элементов и образуемой ими совокуп­ности. Г. Вейль в связи с парадоксом Рассела-Цермело прямо говорит: этот парадокс "показывает, что нельзя допустить существование неко­ей определенной в себе и замкнутой совокупности всех возможных множеств натуральных чисел или всех возможных свойств натуральных чисел . Но когда возникает в мышлении подобная конструкция ? Только на уровне высшей степени общности, на уровне всеобщего. Можно ска­зать, что все эти парадоксы представляют собой некоторые модели всеобщего, замкнутого и соотносящегося лишь с самим собою. Всеобщее, поскольку оно всеобщее, например, такая модель его, как множество всех множеств, по природе своей не может обладать какой-либо определенностью, вносимой в него извне, так как в этом случае оно не было бы всеобщим (в этом случае нужно было бы допустить нечто, существующее вне его, что служило бы внешним источником его определенности). Это обстоятельство и находит проявление в существенной для любых моделей всеобщего необходи­мости определить его через самого же него, что и ведет к па­радоксам.

Понимание этих обстоятельств мы находим прежде всего у математиков, например, в интересной статье Э. Каснера и Д. Р. Ньюмена "Потерянный и найденный парадокс” (16).

Обращает на себя внимание уже первая фраза этой работы: "Вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы". Авторы выделяют три типа парадоксов:

1. "... Это противоречия и абсурдные утверждения, которые являются следствием неправильного рассуждения".

2. "... Это теоремы, которые кажутся странными и невероятными, но которые, будучи доказанными логически безукоризненно, должны быть приняты как верные, несмотря на то, что они выходят за пределы нашей интуиции и воображения".

3. "Третий и наиболее важный тип парадоксов связан с теорией множеств, такого типа парадоксы привели к пересмотру оснований математики.

Логические парадоксы весьма озадачили логиков и математиков и поставили проблемы, касающиеся самого существа математики, проблемы ко­торые до сего дня не получили удовлетворительного разрешения".

Далее они следующим образом разъясняют природу логических пара­доксов: "Большинство из них содержит в себе то, что называется "по­рочным кругом" в рассуждении, а именно пренебрежение фундаментальным принципом": никакой объект, связанный с множеством, как целым, не может быть элементом этого множества. Примеры порочных кругов нам хорошо известны: это те глубокомысленные фразы, которые кажутся на пер­вый взгляд содержательными и мудрыми, а в действительности таковыми вовсе не являются: "никогда не говори "никогда", "каждое правило име­ет исключение"; "всякое обобщение неверно".

Говоря о парадоксах множества тех множеств, которые не являются собственными элементами, авторы прямо указывают на его источник: "Обратите внимание на слово "всех" – именно оно-то и опасно". И да­лее: "Нужно решительно подчеркнуть, что подобные логические парадок­сы вовсе не праздные вещи".

Весьма показательно, как в итоге оценивают Каснер и Ньюмен ло­гические парадоксы и парадоксы теории множеств: "Мы подчеркивали уже не раз, что математик всегда старается сформулировать теорему в наиболее общей форме. В этом отношении цели математика и логика – формулировать утверждения и теоремы в таком виде: ”Если А истинно, то В истинно", где А и В охватывают значительно более широкий круг объек­тов, чем, скажем королей и капусту. Но, если эта цель высока, то она одновременно и опасна, как опасно понятие бесконечности. Когда матема­тик говорит, что такие-то утверждения истины для некоторого объекта, то это может быть интересно и наверняка безопасно. Но, когда он пыта­ется распространить свое утверждение на все объекты, то хотя это значительно более интересно, но и на много опаснее. В переходе от одного ко всему, от специального к общему математика добилась своих величайших успехов, но и испытала свои самые серьезные неудачи, самую важную часть которых составляют логические парадоксы" (16, с. 24, выделено нами - И. Ц.).

Итак, парадоксы теории множеств со всей определенностью указы­вают на то, что универсум не есть множество. Следовательно понятие множества явно неуниверсально и недостаточно для отражения всеобщего в знании, которое демонстрирует внутреннюю диалектическую проти­воречивость. Поэтому целью различных способов аксиоматического построения теории множеств как раз и является исключение предельных конструкций, ведущих к всеобщему (типа вопросов о множестве всех множеств и т. п.) с последующей локализацией их за пределами аксиоматически построенной теории множеств.

Но если парадоксы теории множеств непосредственно свидетельст­вуют о неуниверсальности понятия множества в познании, что само по себе есть первый и необходимый шаг в направлении к концепции целост­ности, то они все же не несут в себе ничего конструктивного для формулировки идеи целостности. В них, правда, содержится намек на то, как и чем оказывается ограниченным понятие множества – свойство единства и связи, взаимозависимости и замкнутости элементов и образуемой ими совокупности, ведущее к непредикативности в определениях.

Однако, этого еще явно мало для перехода от понятия множества к понятию целостности. Такой шаг уже в явной форме позволяет сделать следующая глубокая проблема в основаниях матема­тики – проблема континуума.