3. Реляционный холизм

Основной вывод, вытекающий из анализа парадоксов в основаниях теории множеств, состоит в признании очевидного факта: универсум не есть множество. Структура универсума оказывается более сложной и подлинно диалектической. Она требует осознания гносеологической относитель­ности предельно общего абстрактного понятия множества в основаниях науки и введения на этой основе дополнительного к нему и прямо про­тивоположного понятия единого (или целого), выражающего конечную целостность и неразложимость универсума на элементы и множества. Еще более впечатляющей в этом отношении оказывается проблема континуума – этого столь привычного и, можно сказать, вполне повседневного в отличие от универсуума обьекта науки. Определяющее структурное свойство континуума – его непрерывность – оказывается не может быть однозначно и исчерпывающим образом описано в терминах элементов и множеств. В конечном счете континуум вообще не есть множество, а целое, неразложимое на элементы и множества и неисчерпаемое множествами любых произ­вольных мощностей.

Эти факты наряду с осознанием гносеологической относительности понятия множества и необходимости его деабсолютизации требуют явно­го введения концепции реляционного холизма. Суть реляционного холизма состоит в признании фундаментальной соотнесенно­сти и взаимоопределяемости понятий множества и целого (или единого). Истиной этих понятий оказывается, отношение их взаимного отрицания, одновременно их разделяющего и взаимно определяющего одно через другое. Реля­ционный холизм, следовательно, полностью симметризирует отношения понятий множество – целое, уравнивает их в правах и обеспечивает их полный паритет, не допуская какой-либо выделенности или исключительности одного за счет другого. Благодаря этому реля­ционный холизм оказывается самосогласованной и внутренне сбалансированной замкнутой концепцией, самодостаточной и не нуждающейся в каких-либо внешних допущениях. Сутью реляционного холизма являются строго симметричные отношения предельно общих абстрактных понятий множество (многое) и целое (единое). Поразительным и весьма поучительным для твердых сторонников материализма в фи­лософии является то, сколь плодотворной и эвристически значимой для многих областей знания оказывается эта идея взаимного ограничения и симметризации этих предельно общих абстракций в познании. В этом мы сможем убедиться, обратившись с позиций реляционного холизма как к традиционным проблемам философии, так и новым фундаментальным проб­лемам современного научного познания.

4. Эвристичность идеи целостности в обосновании ксиоматического метода в теории множеств

В предыдущих разделах была прослежена неизбежность идеи целост­ности в философских основаниях современной науки и ее необходимо абстрактный характер. Сколь бы ни было это удивительным, но предель­но общие и абстрактные понятия "элемент" и "множество элементов" явно недостаточны для описания не только физической реальности, но, как свидетельствуют парадоксы в основаниях теории множеств и пробле­ма континуума, даже той интеллигибельной реальности, которую изучает математика. Причем мы должны говорить не просто о неуниверсальности и относительности указанных понятий (“элемент” и "множество элементов”), но скорее о положительном аспекте связанных с этим трудностей – идеи целостности как выражении уникального свойства единства, конечной неделимости и неразложимости на какие-либо множества и эле­менты состояний реальности.

Возникает неизбежный вопрос: в чем состоит возможный рациональный смысл так понимаемой абстрактной идеи целостности? Или, проще говоря: если универсум не есть многое, но и обладает уникальным свойством це­лостности и неделимости так что в конечном счете есть одно, а не многое (множество), то что из этого следует в теоретико-познавательном смысле?

Применительно к основаниям математики краткий ответ на поставлен­ный вопрос таков: идея целостности вскрывает внелогический (т.е. диалектический) источник логического. Она имеет прямое и непосредственное отношение к обеспечению "разумности" построений, которые следует счи­тать в силу этого допустимыми и целесообразными.

Это очевидно вытекает из рассмотрения того, как две одинаково "неразумные" (ложные) эпистемологические крайности в основаниях мате­матики снимаются идеей целостности.

Первая из них – финитистская точка зрения на множества. Отправляясь от неразрешимости континуум-гипотезы Кантора (и даже ее "лож­ности" (П.Коэн)), к ней очень легко придти. В самом деле, в известном смысле континуум-гипотеза представляла собой решающее испытание валидности "лестницы алефов", построенной Кантором, этого "тумана на тумане", как выразился Г.Вейль, или "болезни, от которой математика должна излечиться" (А.Пуанкаре).

Действительно, шкала алефов была утверждена в работах Кантора в качестве реально существующей (напомним, что согласно Д.Гильберту и А.Пуанкаре слово "существовать" может иметь в математике только один смысл: оно должно означать отсутствие противоречий). Но уже в то вре­мя А.Пуанкаре выразил сомнения в реальности существования первого алефа. "Рассуждение, с помощью которого Кантор пытается установить существование этого числа, мне кажется, – писал он, – совершенно сходным с рассуждением Бурали-Форти. Я поэтому не уверен, что алеф-один существует". (Как указал Бурали-Форти в известном парадоксе его имени, впол­не упорядоченное множество всех порядковых чисел имеет порядко­вое число большее любого порядкового числа, что противоречиво. Между тем Кантор, рассматривая вполне упорядоченное множество всех порядковых чисел второго числового (или первого трансфинитного) класса, постулирует существование предельного для этого класса порядкового числа, что позволяет ему ввести мощность, следующую за счетной).

Совершенно ясно, что указание такого теоретико-множествен­ного объекта, мощность которого была бы равной первому алефу, явилось бы достаточно надежным подтверждением реальности самого этого первого алефа. Кантор надеялся, что таким объектом явится континуум. Но этого не случилось. Так что в известном смысле па­дение континуум-гипотезы влечет за собой крушение всей лестницы алефов. Это особенно очевидно благодаря существованию обобщенной формулировки континуум-гипотезы через множество-степень: мощность множества всех подмножеств счетного множества мощности А0, является непосредственно следующей за счетной и равна А1=.

Но если нет такого математического объекта, которому можно было бы сопоставить в строгом смысле алеф-один, и вместе с тем само это число лишается реального смысла, то, идя в обратном на­правлении, легко поставить под сомнение и существование алеф-ноль, а значит и само понятие счетной бесконечности, которое яв­ляется исходным для всей науки о бесконечном. Ведь очевидно, что сомнения в реальности существования множества всех частей некото­рого множества (в данном случае счетного множества) влекут за собой сомнение в реальности существования самого этого исходного, то есть счетного множества. Так мы легко оказываемся в мире конечных и только конечных множеств.

Вместе с тем, с другой стороны, хорошо известно, что финитистская точка зрения на множества разрушает почти все в матема­тике и делает невозможным ее существование. Следовательно, она совершенно неприемлема в силу этой своей очевидной "неразумности" и бесплодности. Математическая реальность явно представляет собой нечто большее, чем только лишь конечные множества. Но что?

В результате простого отрицания финистской точки зрения мы получаем актуально бесконечные множества – вторую точку зрения, а вместе с нею – и все те парадоксы и антиномии, которые вскрывают очевидную "неразумность" и этой крайней точки зрения. Итак, ни финистская точка зрения на множества, ни допущение реальности актуально бесконечных множеств не могут быть приемлимыми в эпистемопогии математики, ибо в обоих этих случаях мы сталкиваемся с неустранимыми противоречиями и лишаемся самой возможности построения математики. Однако в философии математики возможна третья, более гибкая и сбалансированная точка зрения, которая с самого начала учитывает идеализированный характер исходных абстракций отдельного элемента и множеств элементов и их своеобразную относительность, состоящую в том, что эти понятия представляют собой лишь только одну сторону диалектической пары взаимоопределимых и взаимосоотносимых категорий многого и единого как неразложимого на многое.

Так что уже в самом акте постулирования этих объектов (отдельно­го элемента и множеств элементов) мы неявно, но тем не менее со­вершенно неустранимо и неизбежно вводим и их отрицание – противо­положное свойство целостности как неделимости и неразложимости на множества каких бы то ни было элементов. И вся последующая драма математического познания развивается в пределах взаимоопределимости этой диалектической пары категорий.

Эвристическую (в области эпистемологии) ценность этого представления можно проиллюстрировать следующим примером. С по­мощью одних только конечных множеств невозможно обосновать математический анализ. С другой стороны, актуально бесконечные множества позволяют дать обоснование понятий предела и предель­ного перехода, однако при этом неизбежно возникают противоречия в области оснований учения о бесконечных множествах. Если же мы станем на точку зрения идеи целостности, то это даст возмож­ность более глубоко понять свойство непрерывности, лежащее в ос­новании понятий предела и предельного перехода. А именно: непре­рывность следует понимать в отрицательном смысле, как свойство конечной неделимости и неразложимости какого-либо вещественного отрезка на множества каких бы то ни было элементов. Ясно, конечно, что с выраженной в такой формулировке непрерывностью в математике нечего делать и ее невозможно даже ввести в математический язык. Поэтому (например, все в тех же целях обоснования математического анализа) можно обратиться к бесконечным множествам и даже предложениям типа континуум-гипотезы Кантора. Однако мы теперь должны понимать их лишь как некие по существу искусственные средства апроксимации (и не более!) подлинной (целостной) природы непрерывности. Их нужно рассматривать как некоторый искуственный прием выражения в теоретико-множественном языке того, что по природе своей в нем невыразимо и противоположно всякой множественности.

Это позволяет обосновать необходимость аксиоматического подхода к построению теории множеств, который в противном сдучае выглядит противоестественным отказом от рассмотрения объектов, вроде множества всех множеств и т.п., которые тем не менее с обычной точки зрения, абсолютизирующей множественность, предполагаются все же где-то существующими. Идея целостности и выра­жающая ее диалектика множественного и единого дают возможность понять, что таких объектов нет. А то, что есть – это неустрани­мая в человеческом языке взаимодополнительность понятий многого и единого (как неразложимого на многое).