1. Теоретические сведения

1.1 Основы математической логики

1.1.1 Алгебра высказываний

Современная математическая логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект). Алгебра логики алгебра высказываний) - раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) понимается повествова­тельное предложение, относительно которого можно сказать, истин­но оно или ложно.

1.1.2 Основные логические операции

1) Логическое отрицание (инверсия) ­– образуется из ис­ходного высказывания с помощью добавления частицы НЕ к ска­зуемому или использованием оборота речи «неверно, что...».

2) Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И». Операция конъюнкции обозначается: ^; &; *; and; и.

3) Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ. Дизъюнкция обозначается: А или В; A OR B; А|B; A V B.

4) Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ…,ТО…».

5) Логическое равенство (эквивалентность) образуется со­единением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…».Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В.

1.1.3 Свойства логических операций

1) Отрицание отрицания высказывания х эквивалентно само­му x .

2) Дизъюнкция и конъюнкция обладают свойством коммута­тивности.

3) Дизъюнкция и конъюнкция ассоциативны, что позволяет опускать скобки в выражениях с этими знаками.

4) Дизъюнкция и конъюнкция обладают свойством дистри­бутивности друг по отношению к другу.

5) Из формул Моргана следует, что от­рицание булевого выражения, выраженного через отрицание, дизъ­юнкцию и конъюнкцию, можно получить, если составляющие вы­ражения заменить их отрицаниями и поменять местами символы дизъюнкции и конъюнкции.

1.1.4 Логические переменные, функции алгебры логики

Логические переменные были введены впервые вначале прошлого столетия английским математиком Д. Булем, предложив­шим своеобразную алгебру, которая оперирует с высказываниями и которая получила в дальнейшем название булевой алгебры.

Функцией алгебры логики (булевой функци­ей) п аргументов мы будем называть функцию, определённую на множестве всевозможных наборов значений двоичных переменных (x₁,x₂, … x_n), принимающую значение 0 либо 1.

1.2 Приложения алгебры логики в технике

Среди технических средств автоматизации значительное ме­сто занимают устройства релейно-контактного действия (РКС). Они широко используются в автоматическом управлении, в электронно-вычислительной технике и т.д. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.

Использование алгебры логики в конструировании устройств РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и ка­ждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы.