44

1. Пропорции. Золотое сечение.

Знание пропорций, т.е. соотношений размеров частей человеческой фигуры, необходимо для правильного изображения человека и неудивительно, что этим всегда занимались художники и анатомы. Под пропорцией понимается соотношение частей целого между собой и этим целым. В математике пропорцией называют равенство двух отношений а : в = с : д

В эпоху Ренессанса среднепропорциональное отношение называли Божественной пропорцией. Леонардо да Винчи дает ей название «золотое сечение».

П

Рис.1.1. Доска-панель из склепа

Хеси-Ра. Древнее царство.18 век до н.э.

ХХеси-О

ринято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор заимствовал знания у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети 1 в Абидосе и в рельефе Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени(рис.1.1.), держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. О золотом делении знали Платон, Евклид, Гипсикл, Папп и др.

С открытием в 1202 году ряда Фибоначчи было обнаружено основное свойство золотого сечения – единство аддитивности и мультикативности. В математике понятие «аддитивность» означает, что в числовом ряду Ф1,Ф2, Ф3,Ф3,Ф4, Фn-1,Фn, каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например 0 и 1, 1и 3 и т.д. Мультикативность означает, что в числовом ряду Ф1,Ф2, Ф3,Ф3,Ф4, Фn-1,Фn все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию Ф1:Ф2 = Ф2:Ф3 = Ф3:Ф4… Фn-1:Фn =const.

Число золотого сечения, соединяющее свойства аддитивности и мультикативности, находится как общий корень двух уравнений:

а+в=с (аддитивность)

а : в = в : с (мультикативность).

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его. (Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично).

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряд. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция. В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи.

В 1496 году по приглашению герцога Моро в Милан приезжает математик Лука Пачоли. В то же время при дворе Моро работал и Леонардо да Винчи. В 1509 году в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог святой дух.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a:b=c:d. Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами: на две равные части АВ : АC = АВ : ВC; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АC = АC : ВC. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Построим отрезки в пропорциях золотого сечения. В прямоугольнике с соотношением сторон 1:2 проводится диагональ, на которую поворотом накладывается меньшая сторона. Остаток диагонали поворачивается вокруг вершины прямоугольника до совмещения с положением верхнего основания. Таким образом, верхнее основание поделилось на два неравных отрезка в пропорции золотого сечения.

З

Рис.1.2. Распространение золотого сечения.

ХХеси-О

олотое сечение распространено очень широко – как числовая характеристика членения стеблей растений, их расположения на стволе, закручивания спиралей подсолнечника, строение раковины, яйца, яблока и конечно, описание пропорций человеческого тела (рис.1.2.)

Известно, что скульптура Поликлета «Дорифор» вплоть до мельчайших деталей построена в пропорции золотого сечения (рис.1.3.)

В 20 веке Ле Корбюзье для применения в плоскостных и объемных композициях, создал «модулер» (рис.1.4.) « Модулер – мерило, основанное на сочетании математики и человеческого масштаба; оно состоит из двух рядов числовых величин – красного и синего ряда. Можно ли ограничится одной числовой таблицей? Нет. И мне вновь хочется пояснить весь комплекс идей, положенных в основу изобретения. Метр – это условная величина…Сущность изобретения была выражена с редкой простотой: «модулер» - это средство измерения, основой которого являются рост человека и математика. Человек с поднятой рукой дает нам точки, определяющие занятое пространство - нога, солнечное сплетение, голова, кончик пальцев поднятой руки – три интервала, обуславливающие серию золотого сечения, называемую радом Фибоначчи. С другой стороны, математика предлагает некоторое и

Рис.1.3. Скульптура Поликлета «Дорифор»

ХХеси-О

зменение: простой квадрат, удвоение и два золотых сечения»

Вот вкратце основные позиции модулера:

«1. Наша решетка дате три размера:113, 70, 43 ( в см), которые согласуются с Ф ( золотое сечение) и рядом Фибоначчи:43+70=113 или 113-70=43. В сумме они дают: 113+70=183, 113+70+43=226

2. Эти три размера – 113, 183, 226 - определяют величину пространства, занимаемого человеком шести футов.

3. Размер 113 определяет золотое сечение 70, показывая начало первой, красной серии 4-6-10-16-27-43-70-113-183-226 и т.д. До сих пор, стоящий человек служил определению трех, а не четырех решающих значений модулера, а именно: 113 – солнечное сплетение, 182 –вершина головы, 226 – конец пальцев поднятой руки. Второе отношение Ф, 140-86, вводит четвертую существенную точку фигуры человека – точку опоры опущенной руки: 86 см. Таким образом, если человек, у которого левая рука понята, а правая непринужденно опущена, то она даст отметку 86. В результате мы получаем четыре точки, определяющие с помощью фигуры человека занимаемое им пространство. Размер 226 (2х113 –удвоение) определяет золотое сечение 140-86, показывая начало второй, голубой, серии: 13-20,3 -33-53-86-140-226-366-592 и т.д.

4. Из этих значений и размеров отметим те, которые определенно связаны с ростом человека…»

 Практические задания

1. Постройте посредством циркуля и линейки два отрезка в пропорциях золотого сечения. Затем меньший из них опять поделите в пропорции Ф (золотого сечения) на два отрезка и т.д.

2. Возьмите рисунок скульптуры Поликлета. Попробуйте составить схему пропорционирования.

3. Пользуясь рис.1.4. «Золотые пропорции в частях тела человека и фигуры человека» докажите свойства золотого сечения.

Рис.1.4.Золотые пропорции в частях тела человека и фигуры человека

ХХеси-О

 Вопросы для самоконтроля и взаимного контроля

1. Дайте определение золотого сечения.

2. Кто ввел понятие о золотом делении?

3. Какой вклад внес Леонардо да Винчи в разработку вопроса о золотом сечении?

4. По мнению Луки Пачоли золотая пропорция содержит «божественную суть». В чем она заключается?

5. В чем состоит основное свойство золотого сечения?

6. Каково назначение «модулера» Корбюзье?

7. Приведите примеры как и где проявляет себя золотое сечение? В природе, архитектуре, промышленности? (по возможности подобрать рисунки и проиллюстрировать)