МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2004г. Председатель цикловой комиссии ____________/С.В.Скоробогатова /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2004г.

Практическое занятие n 8 по дисциплине математика

“Определители 3 порядка”

Курс II Специальности (технические -1201,1209)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2004 г.

Практическое занятие n 8 Тема “Определители третьего порядка”

Цель: . Научится алгоритму нахождения определителя третьего порядка.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Определение матрицы .

Матрицей размеров m х n называется совокупность m·n чисел расположенных в виде прямоугольной таблицы из m-строк и n-столбцов.

(1)

Примеры матриц:

1. матрица размеров 2 х 3

2. матрица размеров 3 х 2

3. матрица размеров 1 х 4

4. матрица размеров 4 х 1

5. матрица размеров 1 х n

6. матрица размеров m х 1

Матрица размеров n х n называется квадратной матрицей, а число n называется порядком матрицы.

Примеры квадратных матриц:

1. матрица размеров 2 х 2 (квадратная матрица 2-го порядка)

2. матрица размеров 3 х 3 (квадратная матрица 3-го порядка)

Рассмотрим квадратную (квадратичную) матрицу 3-го порядка, состоящую из 9 чисел.

или (2)

Для вычисления будем использовать данный вид матрицы

Числа - называются элементами матрицы.

Определителем (детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице называется число, получаемое следующим образом

(3)

и обозначается

Таким образом согласно определения

= (4)

Формулу (4) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Из определения следует, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителя второго порядка.

Пример 1: Вычислить определитель 3-го порядка:

Определитель 3-го порядка можно находить не только через разложение 1 строки, но и через другие элементы строки или столбца.

Для этого используется следующая таблица:

Тогда выполняются следующие тождества

и т.д.

Подобные разложения используются для удобства вычислений.

Пример 2: Вычислить определитель 3-го порядка:

Разложим по элементам 2 строки:

2. Свойства определителя третьего порядка .

Определители третьего порядка обладают следующими свойствами:

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

(5)

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

(6)

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

или (7)

4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

(8)

5. Если элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

или (9)

6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца),умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.

(10)

Пример 3 : Вычислить определитель 3-го порядка

Решение:

а). Вынесем за знак определителя общие множители каждой строки:

;

б). третью строку прибавим к первой и второй строке соответственно:

;

в). вычислим окончательно, разложив последнее выражение по элементам первой строки:

Ответ: 10800.

3. Решение систем уравнений с тремя неизвестными с помощью определителя третьего порядка .

Определитель третьего порядка позволяет решать систему трех уравнений с тремя переменными.

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными:

(11)

Обозначим определители третьего порядка через :

(12) (13)

(14) (15)

тогда корни системы трех уравнений с тремя неизвестными определяются следующим образом:

(16), (17) (18).

полученные формулы (16 - 18) называют формулами Крамера.

Пример 4. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

Следовательно система уравнений имеет единственное решение.

Далее по формулам (13 - 15) найдем

Затем по формулам Крамера (16 - 18) находим корни исходной системы:

; ; .

Ответ: ( 2; 3; 1)

Если определитель D = 0, то исходная система является:

- неопределенной (, то система либо не имеет решений или имеет бесконечное множество решений);

- несовместной ( и по крайней мере один из определителей , или не равен нулю, то система не имеет решений);

Пример 5. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

, т.к элементы 1 и 3 столбца пропорциональны друг другу.

, аналогично предыдущему свойству.

, т.к элементы 1 и 3 столбца пропорциональны друг другу.

, т.к элементы 1 и 2 столбца пропорциональны друг другу.

Итак , то система не имеет решений, т.к. первое и третье уравнения противоречивы, а именно х - у + 2z = 2 и 3х - 3у + 6z = 3 не имеет смысла.

Действительно умножая 1-е уравнение на 3 и вычитая 3-е уравнение придем к невозможному:

,

получим (3х - 3х) + (-3у -(-3у)) + (6z - 6z) = 6 - 3 , откуда следует 0 = 3 , не имеет смысла.

Ответ: Нет корней.

Пример 6. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

, т.к элементы 1 и 2 строки пропорциональны друг другу.

, аналогично предыдущему свойству.

, т.к элементы 1 и 2 строки пропорциональны друг другу.

, т.к элементы 1 и 3 столбца пропорциональны друг другу.

Итак , то система имеет бесконечное множество решений, т.к. 2-е уравнение получается умножением 1-го уравнения на 2., то указанная система равносильна системе 2-х уравнений:

, откуда

Задавая произвольное значение х мы будем получать соответственное значение у и z .

при х = 1 , следует , решая которое имеем

, , , ,

откуда . Тогда .

Итак и

при х = 0 , следует , решая которое имеем

, , , ,откуда . Тогда .

Итак и

Ответ: Бесчисленное множество решений.

Пример 7. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

, т.к элементы 1 и 3 строки пропорциональны друг другу.

,

т.к. и , то система не имеет решений.

Ответ: Нет корней.

4. Решение однородных систем уравнений с тремя неизвестными с помощью определителя третьего порядка .

Определитель третьего порядка позволяет решать однородные системы трех уравнений с тремя переменными.

Система вида (19)

называется однородной системой трех уравнений с тремя переменными.

Если , то система имеет единственное нулевое решение

х = у = z = 0 или ( 0; 0; 0; ).

Если , то система сводится:

- к двум независимым уравнениям (3-е уравнение является их следствием) , либо

- к одному уравнению (два других уравнения является его следствиями).

Первый случай имеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один отличный от нуля.

Второй случай имеет место тогда, когда все миноры определителя однородной системы равны нулю.

Рассмотрим систему 2-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

(20)

1. Если , то система сводится к одному уравнению, (например к первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых остаются произвольными.

2. Если условие не выполняется, т.е. не всегда коэффициенты при переменных пропорциональны, то решение системы находятся по формулам:

(21)

(22)

(23),

где - может принимать любые значения.

Пример 8. Решить систему 2 линейных однородных уравнений:

Решение:

Используя формулы ( 21 - 23 ) находим:

,

где t - любое число.

Ответ: х = -22t ; у = 14t ; z = 2t , где t - любое число.

Ответ можно записать и таким образом ( -22t; 14t; 2t ), где t - любое число.

Пример 9. Решить систему линейных однородных уравнений: .

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

Т.к. , то система имеет единственное нулевое решение х = у = z = 0 .

Ответ: ( 0; 0; 0; ).

Пример 10. Решить систему линейных однородных уравнений: .

Решение:

Найдем по формуле (12) определитель D третьего порядка:

,

Т.к. , то система имеет решение, отличное от нулевого.

Решаем систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными (3 - уравнение является их следствием)

Используя формулы ( 21 - 23 ) находим:

,

где t - любое число.

Ответ: ( 20t; ─28t; 4t ), где t - любое число.

Задания

Задание 1. Вычислить определитель третьего порядка.

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Вычислить определитель третьего порядка, используя его свойства

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10

Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Решить систему однородных уравнений:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14

Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5

Контрольные вопросы:

1. Что называется матрицей ?

2. Привести примеры матриц.

3. Что называется квадратичной матрицей ?

4. Что называется порядком матрицы ?

5. Что называется порядком элементами матрицы ?

6. Что называется определителем третьего порядка ?

7. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки .

8. Что называется минором данного элемента определителя третьего порядка ?

9. Как обозначается минор данного элемента определителя третьего порядка ?

10. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам второй строки .

11. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам третьей строки .

12. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам первого столбца .

13. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам второго столбца .

14. Записать формулу разложения определителя третьего порядка по элементам третьего столбца .

15. Свойства определителя третьего порядка .

16. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

17. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

18. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

или

19. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

20. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

или

21. Прочитать свойство определителя третьего порядка , выраженного формулой:

22. Какое условие необходимо для единственного решения системы трех уравнений с тремя переменными ?

23. Как определяется D_x при решении системы трех уравнений с тремя переменными ?

24. Как определяется D_y при решении системы трех уравнений с тремя переменными ?

25. Как определяется D_z при решении системы трех уравнений с тремя переменными ?

26. Как определяется корень х при решении системы трех уравнений с тремя переменными через D_х ?

27. Как определяется корень у при решении системы трех уравнений с тремя переменными через D_у ?

28. Как определяется корень у при решении системы трех уравнений с тремя переменными через D_z ?

29. Назвать формулы Крамера.

30. При каком условии система трех уравнений с тремя переменными является несовместной через детерминанты третьего порядка ?

31. При каком условии система трех уравнений с тремя переменными является неопределенной через детерминанты третьего порядка ?

32. Какая система трех уравнений с тремя переменными называется однородной ?

33. Какое решение имеет однородная система трех уравнений с тремя переменными, если D # 0 .

34. Какое решение имеет однородная система трех уравнений с тремя переменными, если D = 0 .

35. Когда однородная система трех уравнений с тремя переменными приводится к одному уравнению ?

36. Когда однородная система трех уравнений с тремя переменными приводится к двум независимым линейным уравнениям с тремя неизвестными ?

37. Как определяются корни однородной системы двух уравнений с тремя переменными ?

Отчет о проделанной работе.

1. Цель работы.

2. Задание.

3. Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4. Описание решения заданий.

5. Оформить карту полученных результатов (внести ответы).

6. Ответить на контрольные вопросы.

24

2

23

3

22

4

21

5

20

6

19

7

18

8

17

9

16

10

15

11

14

12

13