8. 8. d

   Решение. Используя формулу подраздела 2.4 пособия [5], с.117 (задача 4), находим

9. |1 • 1 — 2 • 4 — 2 • 5 + 3| = |1 — 8 — 10 + 3| = 14

10. V1 + 4 + 4 = 79 = ~3~'

11. Ответ: d = 14/3.

12. 11.9. Запишите уравнения плоскостей, удалённых от плос­кости 2х + 6y + 3z — 6 = 0 на расстояние d = 5.

13. Решение. Искомые плоскости параллельны данной, а пото­му их векторы нормали можно взять совпадающими с векто­ром нормали N = (2;6;3) данной плоскости. Таким образом, искомые уравнения имеют вид 2х + 6y + 3z + D = 0. Осталось определить свободный член D. По условию любая точка на данной плоскости удалена от плоскости 2х + 6y + 3z + D = 0 на расстояние d = 5. Пусть это точка Mi(xi, yi, zi). Очевид­но, 2х₁ + 6y_i + 3z_i — 6 = 0 или 2x₁ + 6y_i + 3z_i = 6. Используем формулу для вычисления расстояния от точки Mi до плоско­сти 2х + 6y + 3z + D = 0:

14. |2xi +6yi +3zi + D\ |6 + D\ |6 + D\

15. . = = 5 или r=^- = 5, = 5,

16. V4 + 36 + 9 V49 7 '

17. Записываем уравнение без знака модуля: 6 + D = ±35. Отсюда Di = 29, D2 = —41. В результате, мы получили две плоскости 2х + 6y + 3z + 29 = 0 и 2х + 6y + 3z — 41 = 0, удалённые от данной точки на расстояние d = 5.

18. Ответ: 2х + 6y + 3z + 29 = 0, 2х + 6y + 3z — 41 = 0.

20. Задачи для самостоятельного решения

10. Определите, какие из точек

8. Mi(—2; 2; —6), М2—1;2; — 3), Мз(2;3; —8), М4(2; —2; 6) принадлежат плоскости 3х — 2y + 5z + 40 = 0.

9. Ответ: точки Mi, М3 принадлежат плоскости.

11. Дана плоскость х — 3y + 6z — 21 = 0. Запишите ко­ординаты любых трёх точек, принадлежащих этой плоскости.

12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Мо( —1; 2; —3) перпендикулярно вектору N = (3; —2; 5).

8. Ответ/. 3х — 2y + 5z + 22 = 0.

13. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(3; 0; —4) параллельно плоскости x — 4y + 2z + 6 = 0.

8. Ответ: x — 4y + 2z + 5 = 0.

14. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: M₁ (0; —1; 2), M₂(2; 0; 3), M₃(—3; 4; 0).

8. Ответ: 7x — y — 13z + 25 = 0.

15. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M_i(—2; 1; 4) и M₂(0; 3; 1) перпендикулярно плоскости

8. 4x + 3y — 5z + 4 = 0.

9. Ответ: x + 2y + 2z — 8 = 0.

16. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(—5; 2; —1) параллельно плоскости OXZ.

8. Ответ: y — 2 = 0.

17. Вычислите площадь треугольника, который отсе­кает плоскость 5x — 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла OXY.

8. Ответ: 240.

18. Вычислите объём пирамиды, ограниченной плоско­стью 2x — 3y + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.

8. Ответ: 8.

19. Запишите уравнение плоскости, равноудалённой от плоскостей 4x — y — 2z — 3 = 0 и 4x — y — 2z — 5 = 0.

8. Ответ: 4x — y — 2z — 4 = 0.

20. На оси OY найдите точку, отстоящую от плоскости x + 2y — 2z — 2 = 0 на расстояние d = 4.

8. Ответ: (0; 7; 0), (0; —5; 0).

9. 11.21. Охарактеризуйте взаимное расположение плоскостей: а) x — 2y + 3z — 5 = 0, x + 3y — 2z — 2 = 0, 5x + 5y — 16 = 0;

8. б) 2x - y - z + 3 = 0, 3x + 4y - 2z = 0, 3x - 2y + 4z - 6 = 0;

9. в) 2х - z - 1 = 0, x - 3y - 4z + 3 = 0, 5x - 9y - 13z + 10 = 0.

10. Ответ: а) пересекаются по одной прямой; б) пересекаются в одной точке; в) три плоскости не имеют общих точек.

12. 12. Прямая в пространстве

13. Необходимо изучить подраздел 2.5 пособия [5]. Прямую в пространстве можно задать как линию пересече­ния двух плоскостей:

14. Г Aix + Siy + Ciz + Di = 0, ₍₎ \ A2x + + C2z + D₂ = 0 ^(.)

15. общее уравнение прямой, где векторы нормали плоскостей Ni = (Ai ,Bi,Ci) ^ N2 = (A2, B2, C2). Заметим, что направля­ющий вектор l прямой параллелен вектору [Ni, N2], поскольку l ± N₁ и l ± N₂.

16. Если известен направляющий вектор l = (m,n,p) прямой и какая-нибудь точка Mo(xo,yo,zo) на ней, то прямую можно определить соотношением

17. r = ro + tl, (12.2)

18. где ro - радиус-вектор точки Mo, r - радиус-вектор любой точ­ки прямой, t(-oo < t < +00) - числовой параметр.

19. В координатной форме уравнение (12.2) можно записать в двух видах:

20. x = x_o + tm,

21. y = yo + tn, (12.3) z = zo + tp и ^x-xo = y^yo = z-z° mnp Соотношения (12.3) называют параметрическими, а (12.4) - ка­ноническими уравнениями прямой. Подчеркнём, что в пара­метрических уравнениях прямой коэффициенты при парамет­ре t определяют координаты направляющего вектора.

22. Параметрические и канонические уравнения прямой опре­деляются неоднозначно, поскольку точку Mo(xo,yo,zo) можно выбрать на прямой многими способами, направляющий вектор l определяется также с точностью до скалярного множителя, т.е. если l - направляющий, то вектор Al (Л = 0) также направ­ляющий.

23. Итак, чтобы записать уравнение прямой, необходимо най­ти либо две плоскости, проходящие через эту прямую, либо её направляющий вектор и точку, лежащую на прямой.

24. Нужно уметь переходить от уравнения прямой в форме (12.1) к уравнениям прямой в формах (12.3) и (12.4). Сделать это можно различными способами.

25. Первый способ. Направляющий вектор прямой можно най­ти по формуле:

26. 	i	^j	k
    l = [Ni, N2] =	Ai	Bi	Ci
    	A2	B2	C2

27. Любое частное решение (xo,yo,zo) системы (12.1) даёт коор­динаты точки M_o(x_o, y_o, z_o) на прямой. Поэтому можно задать одно из чисел x_o, y_o, z_o, подставить его в систему и найти две других координаты точки M_o.

28. Второй способ. Уравнения (12.1) можно рассматривать как систему относительно неизвестных x, y, z. Так как векторы Ni = (Ai, Bi, Ci) и N2 = (A2, B2, C2) непараллельны, то один из определителей

8. или D₃

8. Di

8. Ai A2

8. Bi B2

8. Bi B2

8. Ci C2

8. D2

8. Ai Ci A2 C2

9. не равен нулю. Следовательно, ранг основной матрицы систе­мы, а потому и расширенной, равен двум. Поэтому в системе (12.1) одно неизвестное свободное, а два других - зависимые. Если, например, Di = (AiB2 — A2B1) = 0, то в качестве свобод­ного можно принять неизвестное z, а в качестве зависимых ­x и у. Разрешая систему (12.1) относительно x и у, получаем общее решение системы

10. J x = az + y, [у = pz + 5.

11. Положив z = t, находим параметрические уравнения

12. x = at + y, У = et + 5,

13. z=t

14. x — y у — 5 z — 0

15. и канонические уравнения = —-— = прямой.

16. a р 1

17. Третий способ. Можно найти два частных решения систе­мы (12.1), что даст координаты двух точек Mo(xo,yo,zo) и Mi(xi,yi,zi) на прямой. Вектор M0M1 является направляю­щим вектором прямой, поэтому можно записать каноническое уравнение прямой:

18. x — xo = у — yo = z — zo

19. xi — xo у1 — yo zi — zo'

20. Две прямые r = ri + tli и r = Г2 + tl2 могут

21. быть параллельными, если ЦЦЬ;

22. совпадать, если (ri — Г2)^li HI2;

23. пересекаться, если (ri — r2, li, I2) = 0;

24. скрещиваться, если (ri — r2, li, = 0. Напомним, что здесь ri и r2 - радиусы-векторы каких-нибудь точек, лежащих на первой или второй прямой соответственно, а li и l2 - направляющие векторы.

25. Следующие простые задачи (12.1-12.5) встречаются во мно­гих более сложных.

26. 12.1. Запишите параметрические и канонические уравне­ния прямой, заданной общими уравнениями:

27. Г 2x + 3у + z — 16 = 0,

28. \ x + 2у — z + 6 = 0. ^(.)

29. Решение.

30. Первый способ. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей с нормалями Ni = (2; 3; 1) и N2 = (1; 2; —1). Нахо­дим направляющий вектор прямой:

31. i j k

32. l = [N1, N2]= 2 3 1 = — 5i + 3j + k. 1 2 —1

33. Для того, чтобы найти координаты точки Mq(xq, yo, zo) на пря­мой положим Xo = 0. При этом

34. Г 3yo + zo — 16 = 0, \ 2yo — zo + 6 = 0.

35. Складывая уравнения, получаем 5yo — 10 = 0 и yo =2. Затем находим zo = 10. Итак, Mo(0;2;10). Записываем параметриче- ские / = ₅,

36. y = 3t + 2, z = t + 10

8. и канонические

9. X

10. ^5

11. y—2

12. z

13. 10

14. уравнения прямой.

8. Второй способ. Так как D\

9. 23 12

10. 1 = 0, то неизвест-

8. ное z системы (12.5) можно принять в качестве свободного и

9. записать ( _п , „ -, „

10. 2х + 3y = 16 — z,

11. X + 2y = — 6 + z. Находим общее решение этой системы, выражая х и y через z:

12. Г х = — 5z + 50, \ y = 3z — 28.

13. Полагая z = t, записываем параметрические

14. х = — 5t + 50, y = 3t — 28,

15. z = t x — 50 у + 28 z „ _

16. и канонические = = — уравнения прямой. Точ-

17. —5 3 1

18. ка Mo(50; —28; 0) получена из параметрических уравнений при t = 0. В качестве точки Mo можно взять и другую точку, на­пример (0; 2; 10), получающуюся при t = 10.

19. i ^x = ^{— Ы,}_п x у — 2 z — 10 Ответ: \ у = 3t + 2, — = = .

20. z = t + 10, ^{— 5 3 1}

21. 12.2. Запишите канонические и параметрические уравне­ния прямой, проходящей через точки Mi(1; —3; 4) и M2(—2; 1; 2).

22. Решение. В качестве направляющего вектора можно взять вектор l = M_iM₂ = (—3; 4; —2), а в качестве точки M_o - любую

23. x — 1 у + 3 z — 4 из точек Mi или M2. Поэтому — = —4— = —2 канони- ческие уравнения прямой MiM2. Её параметрические уравне-

24. x = — 3t + 1, ния у = 4t — 3, z = — 2t + 4

8. x

8. 1= у + 3 = z — 4

8. x = — 3t + 1, Ответ: l у = 4t — 3,

9. z = — 2t + 4, ⁴ 12.3. Найдите точку Mo пересечения прямой

10. x = 3t — 2, у = —2t + 3, z = 4t — 1

11. и плоскости x + 2у + 4z — 30 = 0

12. Решение. Находим то значение параметра t_o, при котором происходит пересечение прямой и плоскости Так как точка Mo(3to — 2, —2to + 3, 4to — 1) лежит в данной плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следователь­но, 3to — 2 + 2(—2to + 3) + 4(4to — 1) — 30 = 0,

13. 3to — 2 — 4to + 6 + 16to — 4 — 30 = 15to — 30 = 0, to = 2.

8. Полагая в параметрических уравнениях прямой t = 2, находим точку пересечения Mq: xq = 3 • 2 — 2 = 4, yo = —2 • 2 + 3 = — 1, zo = 4 • 2 — 1 = 7. Итак, Mo(4; —1; 7).

9. Ответ: М₀(4; —1;7).

10. 12.4. Докажите, что прямые

    8. x = 2t — 5, y = —3t + 5,

    8. 4t 4

    8. z

11. x = 3t — 4, y = —2t + 1, и z = t + 3

8. которой они

9. пересекаются. Найдите уравнение плоскости, в расположены.

10. 8. 0,

    Решение. Равенство (ri — li, I2) = 0 является условием пересечения двух прямых. Все данные находим из парамет­рических уравнений прямых. В нашем случае ri = (—4; 1; 3), r2 = (—5; 5; —4), li = (3; —2; 1), l2 = (2; —3; 4). Вычисляем сме­шанное произведение

    	—1	4	—7		—1	4	—7
    ^(r1 ^— ^ ^l1^, ^l2^) =	3	—2	1	=	0	10	—20
    	2	—3	4		0	5	—10

11. т.е. прямые пересекаются.

12. Плоскость, в которой они расположены, параллельна век­торам li, I2 и проходит через точку Mi(—4; 1; 3). В качестве вектора нормали можно взять вектор N:

9. N = [li, l2]

10. i j k

11. 3 —2 1

12. 2-3 4

13. (—5i — 10j — 5k)||(1;2;1).

8. Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде

9. x + 2y + z + D = 0. Поскольку плоскость проходит через точку Mi(—4; 1; 3), то —4 + 2 + 3 + D = 0, D = —1. Уравнение x + 2y + z — 1 = 0 яв­ляется искомым.

10. Ответ: x + 2y + z — 1 = 0.

11. 12.5. Докажите, что прямые

12. x = 2t + 1, ( x = t + 4,

13. y = 3t + 4, и I y = 2t + 8, z = -2t + 3 { z = 3t - 4

14. пересекаются. Найдите координаты точки Mo их пересечения.

15. Решение. Доказать, что прямые пересекаются можно так же, как и в задаче 12.4. Но мы рассмотрим другой способ ре­шения. Если данные прямые пересекаются, например, в точ­ке Mo(xo, yo, zo), то существуют значения параметра t = ti для первой прямой и t = t2 — для второй прямой, которые соот­ветствуют одной и той же точке Mo. С одной стороны, коор­динаты точки M_o(2t_i + 1, 3t_i + 4, -2t_i + 3), с другой стороны Mo(t2 + 4, 2t2 + 8, 3t2 — 4). Приравнивая выражения для соот­ветствующих координат точки M_o, получаем систему

16. 2ti + 1 = t2 + 4, ( 2ti — t2 = 3,

17. 3ti + 4 = 2t2 + 8, или < 3ti — 2t2 = 4, —2ti + 3 = 3t2 — 4, { 2ti + 3t2 = 7.

18. Это система трёх уравнений с двумя неизвестными ti и t2. Если система совместна, то прямые пересекаются, если несовместна, то не пересекаются. Записываем расширенную матрицу систе­мы и преобразуем её. Первую строку умножим на (—3) и при­бавим ко второй, умноженной на два. Затем первую строку вы­чтем из третьей. Вычёркиваем одну из двух пропорциональных строк.

19. " 2 —13 3 —2 4 _ 2 3 7

20. Видим, что ранг основной и расширенной матриц равен двум, т.е. система совместна, и прямые пересекаются. Исходная си­стема эквивалентна системе

21. Г 2ti — t2 = 3,

22. —t2 = —1.