1.5 Практичне заняття № 4 Визначення параметрів та закону розподілення кількості поїздів, що прибувають на станцію за одну годину

Вхідний потік вимог на транспортний об’єкт може бути описаний з використанням як інтервалів між поїздами, так і кількості подій за одиницю часу.

Кількість поїздів, що прибувають на станцію за одну годину а_і (див. табл. 1.1), є випадковою величиною, причому дискретного типу, тому що може приймати тільки додатні цілі значення.

Для розрахунку параметрів розподілення величини а складається статистичний ряд (див. табл. 1.7), кожен розряд якого має відповідне конкретне значення а_і. За даними варіаційного ряду (див. табл. 1.1) визначаються і наводяться у табл. 1.7: кількість спостережень у кожному розряді К_а, їх загальна кількість К_а, статистична ймовірність окремого значення випадкової величини

.

Таблиця 1.7

№№ розрядів	аі, поїздів/год	Ка		Ва	аіВa		аі^2Вa
1	0		1	0,023		0		0
2	1		8	0,186		0,186		0,186
3	2		15	0,349		0,698		1,396
4	3		13	0,303		0,909		2,727
5	4		5	0,116		0,464		1,856
6	5 і більше		1	0,023		0,115		0,575
	Всього		43	1,000		2,372		6,740

За даними статистичного ряду виконуються розрахунки параметрів розподілення випадкової величини а.

Середнє статистичне значення поїзда/год.

За змістом М[а] є інтенсивністю вхідного потоку поїздів, яка в перерахунку на хвилину становить

поїзда/хв.

Остання з достатньою точністю збігається з розрахованим у п. 1.2 значенням =0,038, яке було отримане з використанням інтервалів прибуття поїздів. При суттєвих розходженнях потрібно перевірити розрахунки М[а].

Статистична дисперсія

(поїзда/год)².

Середньоквадратичне відхилення

поїзда/год.

Коефіцієнт варіації .

За даними статистичного ряду будується багатокутник статистичного розподілення ймовірностей В_а випадкової величини а (див. рис. 1.3). Слід мати на увазі, що для випадкових величин дискретного типу ймовірності існують тільки в окремих точках, які відповідають можливим значенням величини а. Проміжні значення величини а не існують, отже ймовірності у проміжках дорівнюють нулю.

Для опису розподілення випадкових величин дискретного типу використовують біноміальний, Пуассона та інші [1], [2] закони.

Рис. 1.3. Багатокутники розподілу випадкової величини кількості поїздів, що прибувають на станцію за одну годину.

Висунемо гіпотезу про розподіл величини а за законом Пуассона. Для цього закону ймовірність того, що за час t відбудеться а подій, визначається формулою:

. (17)

Зважаючи на те, що t=1 год, а =M[a] отримаємо

. (18)

За допомогою формули (18) при =2,372 поїзда/год і e^- = e^-2,372 = 0,093 виконуються розрахунки Р_а, результати яких наводяться в табл. 1.8.

Таблиця 1.8

а, поїздів/год	^а	а!	Ра	Ва
0	1,000	1	0,093	0,023	0,0527
1	2,372	1	0,221	0,186	0,0055
2	5,626	2	0,262	0,349	0,0289
3	13,346	6	0,207	0,303	0,0445
4	31,656	24	0,123	0,116	0,0004
5 і більше	–	–	0,094	0,023	0,0536
	Всього		1,000	1,000	0,1856

У табл. 1.8 ймовірність Р₅=0,094 розрахована як .

Згідно з отриманими даними Р_а (див. табл. 1.8) на рис. 1.3 побудовано багатокутник розподілу величини а за законом Пуассона.

Для оцінки міри розходження теоретичного і статистичного розподілень визначається критерій Пірсона (9), для чого у кожному рядку табл. 1.8 розраховуються елементи та їх сума, яка становить =0,1856.

При загальній кількості спостережень К=43 (див. табл. 1.7) критерій ²=43  0,1856 = 7,9809.

Для оцінки ² визначаються:

• кількість розрядів статистичного ряду с = 6 (див. табл. 1.7);

• кількість зв’язків S = 1 (один параметр );

• кількість ступенів свободи r = 6 – 1 – 1 = 4;

• табличне значення ² при Р=0,1 і r = 4 дорівнює =7,78.

Таким чином, (² = 7,9808) > (=7,78) і гіпотеза про розподіл величини а за законом Пуассона не узгоджується. Отже величина а має інший закон розподілу, визначення якого в умовах практичних робіт не передбачається.

У подальших розрахунках характер вхідного потоку приймається виходячи зі встановленого закону розподілу інтервалів між поїздами (див. п. 1.4).