§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.

Определение. Пусть a, bZ. Если существует qZ, что a = bq, то b делит a, или a делится на b, обозначаем b|a.

Простейшие свойства делимости:

1. Если a|b, b|c  a|c. Если a делит b и b делит c, то a делит c.

2) Если a,b,с и с не равно 0, то a делит b тогда и только тогда, когда ac делит bc, т. е. a|b; c0  ac|bc, a, b, cZ.

3. d|a_i; i=1,…,n,

x₁,…,x_nZ  d|a₁ x₁ +…+a_n x_n.

3. a|b; b|a  a =b.

Доказательство всех свойств однообразно: используется только определение делимости. Докажем 4) :

a = bq и b = aq₁  a = aqq₁  a(qq₁ – 1) = 0  qq₁ = 1, т. к. a0  q = 1.

Теорема (о делении с остатком).

Для любых a, bZ; b  0 существует единственная пара q, rZ такая, что a = bq+r, 0 r|b|.

Доказательство: Рассмотрим множество M = {a – bq, qZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}Ø.

В любом таком множестве  наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.

Докажем единственность.

Пусть ещё a = bq₁ + r₁. Тогда вычитанием из первого второе получим

0 = b(q – q₁) + r – r₁. Отсюда следует, что r – r₁ кратно b, но |r – r₁|<|b|.

Следовательно, r – r₁ = 0, а поэтому и q – q₁ = 0.

Упражнение. Доказать теорему о делении с остатком геометрически (использовать геометрическую интерпретацию чисел).

Следствие из теоремы.

b делит a тогда и только тогда, когда r = 0 (b|a  r = 0);

r называют остатком, а q – частным.

§2. Построение комплексных чисел.

Уравнение x²+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x²+1=0 имело решение.

В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z₁, z₂,…, z_n. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.

z (a, b), где – равно по определению.

Введём операции сложения и умножения точек плоскости.

Определение 1. Под суммой точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁+z₂(a+c, b+d).

Определение 2. Под произведением точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁z₂(ac–bd, ad+bc)

Теорема 1.

1) z₁+z₂=z₂+z₁ — коммутативность сложения;

2) (z₁+z₂)+z₃= z₁+(z₂+z₃) — ассоциативность сложения;

3) z₁z₂= z₂z₁ — коммутативность умножения;

4) (z₁z₂)z₃= z₁(z₂z₃) — ассоциативность умножения;

3. (z₁+z₂)z₃ = z₁z₃+z₂z₃ — дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для любых z₁, z₂, z₃.

Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3) :

z₁z₂ = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z₂z₁  z₁z₂= z₂z₁.

Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.

Определение 3. Под разностью точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z₂+ z = z₁, т.е.

z₂+z = z₁  

z₁–z₂ = (a – c, b – d).

Определение 4. Пусть z₁ = (a, b), z₂ = (c, d), z₂  (0, 0).

Частным двух точек z₁ и z₂ называют точку z = (x, y) такую, что z₂z = z₁, т.е.



x =; y =.

Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z₁ = (a, b) будет точка z₂ = (–a, –b).

Упражнение. Найти обратную точку для точки z₂ = (c, d)≠(0,0).

Множество точек плоскости с так введёнными операциями сложения, умножения, вычитания и деления называют множеством комплексных чисел и обозначают C.

Точки с координатами (a, 0) на оси Ox и

(a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

По своим свойствам множество таких точек ничем не отличаются от R, поэтому будем отождествлять (a, 0) и a. После этого отождествления множество C содержит R (C  R).

В множестве C имеет решение уравнение x²+1=0.

Это точка с координатами (0, 1): (0, 1) (0, 1) = (–1, 0).

Точка (0, 1) — обозначается i и называется мнимой единицей. Очевидно, что

(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(b, 0)(0, 1) = a+bi, где a+bi — алгебраическая форма комплексного числа.

Замечание. Введенные ранее операции над комплексными числами приспособлены к алгебраической форме записи комплексного числа. Например, для умножения двух чисел имеем:

(a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+bdi²=(ac–bd)+i(ad+bc).

Пусть z = a+bi, тогда:

a = Re z — действительная часть комплексного числа,

b = Im z — мнимая часть комплексного числа.

Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.

Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).

Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).

Упражнение 1. Сумма и произведение двух комплексных чисел z и (сопряжённых) — действительное число.