§6. Миноры и их алгебраические дополнения.

Пусть В — некоторая матрица размером n x n. В = ,

и kN, 1 ≤ k ≤ n.

Выделим в матрице В k произвольных строк с номерами i₁, i₂, ..., i_k и k произвольных столбцов с номерами j_1, j₂, ..., j_k . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу размером k x k. Определитель полученной матрицы называется минором к-того порядка матрицы В. Обозначим его через М. Элементы, не попавшие на пересечение, образуют матрицу размером (n-k) x (n-k). Определитель полученной матрицы называют минором, дополнительным к минору М. Обозначим его через М₁.

Введем еще следующую сумму: S_M = i₁+ i₂+ ...+i_k + j₁+ j₂+ ...+j_k. Сумма S_M — это сумма номеров выделенных строк и выделенных столбцов. Тогда

М₁= А_m называется алгебраическим дополнением к минору М.

Существует общий способ сведения вычисления определителей порядка n к вычислению определителей меньших порядков с применением понятия минора и алгебраического дополнения.

Теорема Лапласа.

Пусть В  Р_{n x n} — матрица порядка n, и 1 ≤ k < n. У матрицы В зафиксируем k произвольных строк. Тогда ее определитель равен сумме произведений всех миноров, содержащихся в выделенных строках, на их алгебраические дополнения, т.е. | B | = M₁A₁ + ... + M_sA_s.

Следствие 1 (разложение определителя по строке). Определитель матрицы В равен сумме произведений элементов какой–нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Следует из теоремы Лапласа при k = 1. 

Следствие 1 позволяет сводить вычисление определителя порядка n к вычислению определителей порядка (n - 1).

Упражнение. Сформулировать теорему Лапласа и следствие 1 в применение к столбцам.

Следствие 2. Сумма произведений элементов строки определителя матрицы на соответствующие дополнения к элементам другой строки равна нулю, т.е. .

Упражнение. Доказать.

Пример:

det = det  det  (-1)^1+2+1+2 =

= det  det = (-2)  (-3) = 6.

§7. Определитель произведения квадратных матриц.

Теорема. Пусть А и В — две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

 Пусть A = (a_ij)_{n x n} , B = (b_ij)_{n x n} . Рассмотрим определитель d_2n порядка 2n

A

||

d_2n =

||

B

d_2n = | A | | B | (-1) ^{1 + ... + n + 1 + ... + n} = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель d_2n равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В d_2n проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а₁₁; (n+2) строку, умноженную на а₁₂ и т.д. (2n) строку, умноженную на а_1n . В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + ... + a_1nb_n1 = c_11;

a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + ... + a_1nb_n2 = c_12;

_...

a₁₁b_1n + a₁₂b_2n + ... + a_1nb_nn = c_1n.

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя d_2n , причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель d_2n преобразуется в равный ему определитель:

d_2n = | C | (-1) ^{1 + ... + n + ... + 2n} = |AB|. 

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

 Доказательство проводится индукцией: | A₁ ... A_i+1 | = | A₁... A_i | | A_i+1 | = ... = = | A₁| ... | A_i+1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме. 