3. Аналитическая геометрия в пространстве

3.1. Плоскость в пространстве

Каждая плоскость определяется уравнением первой степени в декартовых координатах, и всякое уравнение первой степени задает плоскость.

Общее уравнение плоскости

(12)

при .

Всякий (отличный от нуля) вектор , перпендикулярный к данной плоскости, называется нормальным вектором плоскости или нормалью. В уравнении (12) коэффициенты А, В, С – координаты вектора нормали плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (13)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и , записывают в виде

. (14)

Уравнение плоскости в отрезках

, (15)

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ox, Oy, Oz соответственно (плоскость проходит через точки , , ). Заметим, что если плоскость проходит через начало координат, то ее невозможно задать уравнением в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости

, (16)

где , , – направляющие косинусы вектора нормали; р – расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости (12) приводится к нормальному виду (16) умножением (12) на нормирующий множитель (знак выбирается так, чтобы ).

Расстояние от точки до плоскости

. (17)

Пусть заданы две плоскости: и . Двугранный угол , образованный двумя заданными плоскостями, называется углом между этими плоскостями:

,

где и – векторы-нормали к заданным плоскостям.

Условия параллельности и перпендикулярности заданных плоскостей имеют вид соответственно

; .

Если заданные плоскости не параллельны, то множество плоскостей, проходящих через прямую их пересечения, называется пучком плоскостей. Уравнение любой (кроме второй из заданных) плоскостей можно выделить из уравнения пучка плоскостей подбором параметра :

. (18)

3.2. Уравнение прямой в пространстве

Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей системой уравнений

Канонические уравнения прямой, параллельной вектору и проходящей через точку , имеют вид

. (19)

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой

При параметре t, меняющемся от до , текущая точка пробегает всю прямую.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и ,

. (20)

Пусть заданы две прямые

и .

Углом между двумя прямыми называется угол между векторами и ;

. (21)

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых соответственно

;

.

Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора .