Задача к4
Дано: , , , , , AD=DB, , , , l4 = 0,6 м, , (направления – против хода часовой стрелки).
Определить: VA, VE, DE, aA, BA.
Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и длинами стержней.
2. Определяем VA. Точка A принадлежит стержню 1, совершающему вращательное движение, т.е. и стержню 3. Чтобы найти , нужно знать направление и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка В, принадлежащая еще звену 4 (звено вращается вокруг О2).
VВ = 4l4 = 3 м/c; . (1)
Направление найдем, учитывая, что направления – против хода часовой стрелки. Теперь воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая AB). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
и VА = 3 м/c. (2)
3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка C3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек A и B. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС C3. Вектор перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и C3, и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину VD найдем из пропорции
. (3)
Чтобы вычислить C3D и С3B, заметим, что AC3B – равносторонний, так как острые углы в нем равны 30°, и что . BC3D является прямоугольным и С3D=C3B·cos60°=0,81·0,5=0,405. В результате равенство (3) дает
; . (4)
Направление найдем, учитывая, что точка E принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям и , получим точку С2 – МЦС стержня 2. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 2 вокруг центра С2. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рисунка видно, что ЕC2D равносторонний, откуда С2E=C2D=ED=l2. Составив теперь пропорцию, найдем, что
, VE = VD = 1,5 м/c. (5)
Определяем DE. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и , то
. (6)
5. Определяем .
(7)
и . (8)
. (9)
т.к. ω4 – величина постоянная
Изображаем на чертеже в точке B векторы: (вдоль ВА от В к А)
и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя 3 с помощью построенного МЦС C3 стержня 3, получим
и .
Спроектируем обе части равенства (7) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим
. (10)
6. Определяем BA. Чтобы найти BA, сначала определим . Для этого обе части равенства (7) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим
. (11)
Подставив в равенство (11) числовые значения всех величин, найдем, что . Знак указывает, что направление противоположно направлению, показанному на рисунке.
Из равенства получим .
Ответ: VА =3 м/c; VE =1,5 м/c; DE =1,25 c-1; ; BA =17,1c-2.