Факультет інформації та телекомунікаційних технологій і систем

Кафедра прикладної математики, інформатики та математичного моделювання

Дисципліна: алгебра та геометрія

Спеціальність: 6.080201 – інформатика. Семестр 3.

Завдання на курсову роботу

Теоретичні питання

1. Бінарні алгебраїчні операції. Означення і приклади груп.

2. Гомоморфізми, ізоморфізми груп.

3. Суміжні класи, теорема Лагранжа.

4. Нормальні дільники.

5. Фактор-група групи по нормальному дільнику.

6. Група класів лишків по модулю .

7. Ядра гомоморфізмів, теорема про гомоморфізми.

8. Основні поняття теорії кілець.

9. Ідеали кілець.

10. Фактор-кільце.

11. Гомоморфізми, ізоморфізми кілець.

12. Кільце класів лишків по модулю .

13. Теорема Ейлера, теорема Ферма та їх застосування.

14. Порівняння та їхні властивості.

Практичні завдання

1. Елементи теорії груп

1A). З’ясувати, чи утворює групу дана множина при вказаній операції над елементами.

1. Дійсні многочлени степеня (включаючи нуль) від невідомого відносно додавання;

2. Цілі числа, кратні даному натуральному числу , відносно додавання;

3. Степені даного дійсного числа з цілими показниками відносно множення;

4. Непарні числа відносно додавання;

5. Додатні раціональні числа відносно ділення;

6. Двійково-раціональні числа, тобто раціональні числа, знаменники яких – степені числа 2 з цілими невід’ємними, відносно додавання;

7. Матриці порядку з цілими елементами відносно множення;

8. Матриці порядку з цілими елементами відносно додавання;

9. Вектори вимірного лінійного простору відносно додавання;

10. Повороти тривимірного простору навколо точки 0, якщо за добуток поворотів і прийняти їх послідовне виконання;

11. Додатні дійсні числа, якщо операція визначена так ;

12. Дійсні многочлени степеня від невідомого відносно додавання;

13. Множина відносно додавання;

14. Множина відносно множення;

15. Множина відносно множення;

16. Корені го степеня з одиниці відносно множення;

17. Додатні дійсні числа, якщо операція визначена так .

18.З’ясувати, чи буде групою множина усіх симетричних підстановок порядку n відносно операцій множення.

19. З’ясувати, чи буде групою множина усіх симетричних підстановок не парного порядку n відносно операцій множення.

20. З’ясувати, чи буде групою множина усіх симетричних підстановок парного порядку n відносно операцій множення.

1Б). Розв’язати задачу з повним поясненням. При посиланні на теорему наводити її формулювання.

1. Довести, що підгрупа індексу 2 будь-якої групи містить квадрати всіх елементів групи .

2. Довести, що кожний нормальний дільник є ядром деякого гомоморфізму.

3. Знайти всі групи адитивної групи цілих чисел .

4. Довести, що

А) для довільних порядки елементів завжди однакові.

Б) довести, що в довільній групі елементів та однакові.

5. Показати, що в довільній групі .

6. Нехай в скінченій підгрупі довільний елемент має порядок . Довести, що порядок групи ділиться на .

7. Довести, що фактор-група групи комплексних матриць по підгрупі матриць з визначниками, по модулю рівними одиниці, ізоморфна мультиплікативній групі додатних чисел.

8. Довести, що фактор-група групи комплексних матриць з додатними визначниками, ізоморфна мультиплікативній групі комплексних чисел, по модулю рівних одиниці.

9. Довести, що центр групи (множина всіх елементів, кожний з яких комутує з іншими елементами цієї групи) – завжди нормальний дільник.

10. Знайти - групу ізоморфних відображень множини самої на себе.

11. Знайти суміжні класи адитивної групи цілих чисел по підгрупі чисел, кратних даному натуральному .

12. Довести, що всі комутатори та їхні добутки (з довільною скінченою кількістю співмножників) утворюють нормальний дільник групи.

13. Довести, що коли перетин двох нормальних дільників групи містить лише одиницю, то будь-який елемент комутує з будь-яким .

14. Довести, що довільній групі кожна підгрупа 2 обов’язково є нормальним дільником.

15. Довести, що фактор-група групи дійсних матриць по підгрупі матриць з додатними визначниками є групою 2-го порядку.

16. Довести, що адитивну групу раціональних чисел неможливо гомоморфно відобразити на адитивну групу цілих чисел.

17. Довести, що множина лівих трансляцій з введеною операцією композицій підстановок і оберненим відображенням є підгрупою симетричної групи на даній множині.

18. Показати, що відношення порівняння на множині по її підгрупі є відношенням еквівалентності.

19. Довести, що якщо елемент g належить групі G, то Hg є правим суміжним класом групи G по підгрупі H.

20. Довести, що якщо K кінцева підгрупа групи G, g Є G, то кількість елементів правого суміжного класу рівно кількості елементів даної множини.

21. Показати, що підгрупа усіх парних підстановок симетричної групи підстановок n – ї степені є нормальни дільником групи.

22. Гомоморфно відобразити мультиплікативну групу K коренів 12-го ступеня з 1 на мультиплікативну групу L коренів 3-го степенів з 1. Побудувати фактор-групу групи K за ядром гомоморфізму. Скласти таблицю Келлі.

23. Гомоморфно відобразити мультиплікативну групу K коренів 15-го ступеня з 1 на мультиплікативну групу L коренів 5-го степенів з 1. Побудувати фактор-групу групи K за ядром гомоморфізму. Скласти таблицю Келлі.

24. Гомоморфно відобразити мультиплікативну групу K коренів 18-го ступеня з 1 на мультиплікативну групу L коренів 3-го степенів з 1. Побудувати фактор-групу групи K за ядром гомоморфізму. Скласти таблицю Келлі.