2. Функции Mathcad для аппроксимации экспериментальных данных

2.1. Линейная аппроксимация

Система Mathcad предоставляет возможность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной аппроксимации вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная аппроксимация оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых, для чего используется, например, следующие функции:

1. – коэффициент a линейной регрессии векторов и .

- коэффициент b линейной регрессии векторов и .

2. Линейная регрессия общего вида аппроксимирует заданную совокупность точек функцией вида .

Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций , причем сами эти функции (факторы) могут быть нелинейными, что расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.

Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция

– коэффициенты линейной аппроксимации методом наименьших квадратов по функциям, хранящимся в символьном векторе, а узловые точки хранятся в векторах и . Она возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения исходных точек, координаты которых хранятся в векторах и , оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции , записанные в символьном виде.

Пример 1. Один из способов сортировки экспериментальных данных.

Пусть везде далее Х – вектор экспериментальных данных аргумента; Y – вектор экспериментальных данных значений функции.

Отсортируем экспериментальные данные по возрастанию значений столбца X (используется функция csort)

Выполним сортировку:

Пример 2. Линейная аппроксимация с использованием функций intercept и slope

Зададим значения экспериментальных точек:

Рисунок 1. Графики экспериментальных данных (точки) и аппроксимирующая линия (непрерывная линия) для примера 2

Пример 3. Квадратическая аппроксимация методом наименьших квадратов.

Зададим значения экспериментальных точек:

Задаем среднеквадратическое отклонение (СКО):

Поиск координат минимума выполним через функцию minerr.

Получаем коэффициенты регрессии:

,

и функцию:

Проиллюстрируем (рис.2) данные и найденные результаты:

Рисунок 2. Графики экспериментальных данных (точки) и аппроксимирующая линия (непрерывная линия) для примера 3

Пример 4. Линейная регрессия общего вида.

Заданы значения экспериментальных точек: независимая переменная , функция . Зададим произвольно матрицу функций .

.

Задаем расчет коэффициентов по функции :

Получаем коэффициенты регрессии:

Задаем функцию для вычисления расчетных значений функции :

.

Построим графики заданной (точки) и расчетной (непрерывная линия) функций (рис.3):

Рисунок 3. Графики экспериментальных данных (точки) и аппроксимирующая линия (непрерывная линия) для примера 4