Символическая логика высказываний
Рассмотренные выше таблицы истинности сложных суждений (будем называть их в дальнейшем высказываниями) показывают, что различные по своей логической структуре формулы могут получать в выходных столбцах таблиц одинаковые истинностные значения.
Некоторые формулы и соответствующие им сложные высказывания являются истинными всегда, т.е. при любых истинностных значениях входящих в них простых высказываний в силу только своей структуры и значения логических союзов.
Н
апример,
всегда истинным будет выражение: (а
+в)
& а
в
-
а
_
а
в
а +в
_
(а + в) & а
_
(а +в) & а в
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
Некоторые формулы являются всегда ложными тоже в силу своей структуры.
_ _
Например, всегда ложным будет выражение: а & (а +в)
-
а
_
а
в
_
а + в
_
а + в
_ _
а & (а + в)
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
Приведенные выражения называют тождественно истинными и тождественно ложными формулами. Первые еще определяют как логические законы или тавтологии. Поэтому одной из задач логики является отыскание среди всех формул тождественно истинных, т.е. отыскание законов логики.
Различные формулы, но с одинаковым распределением на выходе истинностных значений называют логически тождественными или просто тождественными. Это свойство тождественности различных формул используют при решении логических задач.
Примером такого тождества могут быть выражения :
_
а в; а & в
-
а
в
а в
_
а & в
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1