Затухающие колебания при наличии силы вязкого трения, пропорциональной первой степени скорости
Из условий статического равновесия рис 1в имеем:
Тогда .
Из начальных условия рис 1б имеем:
Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 1, г) по закону Ньютона запишем:
,
или
,
где Откуда:
Решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:
Тогда , .
Подставим решение в уравнение
Так как , то , значит
Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.
Корни этого уравнения
Рассмотрим случай когда k > n
Тогда решением будет:
Корни характеристического уравнения комплексные и решение уравнения необходимо записать в виде:
где А1, А2 – постоянные интегрирования.
Это решение с помощью формул Эйлера можно представить в виде:
.
Найдем постоянные интегрирования C1 и С2. Для этого необходимо иметь общее выражение для х. Дифференцируем по t последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
, откуда
2) При t = 0 , т.е.
, т.е.
, тогда
Получаем окончательно:
.
Подставим найденные численные значения коэффициентов. Окончательно получим:
Рассмотрим случай когда k = n
Тогда решением будет:
Корни характеристического уравнения кратные и решение уравнения необходимо записать в виде:
А1 и А2 – постоянные интегрирования.
Дифференцируем по t последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
, откуда .
2) При t = 0 , т.е.
,
Окончательно получаем:
Рассмотрим случай когда k < n
Тогда решением будет:
Корни характеристического уравнения действительные и решение уравнения необходимо записать в виде:
А1 и А2 – постоянные интегрирования. Дифференцируем по t последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
, откуда
2) При t = 0 , т.е.
, откуда
Окончательно получаем:
Вынужденые колебания без учёта сил сопротивления движению
Из условий статического равновесия рис 1в имеем:
Тогда .
Из начальных условия рис 1б имеем:
Рассматривая динамическую расчетную схему (рис. 3, г) по закону Ньютона запишем:
После выполнения сокращений уравнение приводим к каноническому виду:
,
где , k – собственная частота колебаний груза на пружине.
Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
имеет вид:
где х1 – общее решение соответствующего однородного уравнения
,
х2 – частное решение неоднородного уравнения, вид которого определяется видом правой части уравнения в общем случае ,
где А и В – некоторые постоянные, значения которых определяются подстановкой частного решения х2 в неоднородное дифференциальное уравнение.
.
Коэффициенты при и при в левой и правой частях этого уравнения должны быть равны в любой момент времени.
.
тогда
Решение дифференциального уравнения отыскиваем в виде:
.
Определим неизвестные постоянные интегрирования С1 и С2 , для этого необходимо продифференцирывать последнее выражение
Используем начальные условия задачи:
1) При t = 0 , т.е
2) При t = 0 , т.е.
Тогда уравнение колебательного движения запишем в следующем виде: