- •1 Направленные отрезки
- •2 Понятие вектора
- •3 Сложение векторов
- •Свойства сложения векторов.
- •4 Разность векторов.
- •5 Умножение вектора на число.
- •Свойства умножения вектора на число.
- •6 Признак коллинеарности векторов.
- •7 Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.
- •8 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
- •9 Геометрический смысл линейной зависимости векторов.
- •10 Базис векторного пространства. Координаты вектора.
- •11 Векторные подпространства
- •12 Величины направленных отрезков на оси
- •13 Основные виды параллельного проектирования
- •14 Проекция вектора на ось
- •15 Скалярное произведение векторов
- •16 Координатная форма скалярного произведения
- •17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
- •Ортогональная проекция вектора на ось.
- •Ортогональная проекция вектора на плоскость.
- •18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
- •19 Системы координат на плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.
- •21 Ориентация плоскости и пространства.
- •22 Векторное произведение векторов.
- •Координатная форма векторного произведения.
- •Приложения векторного произведения.
- •23 Двойное векторное произведение.
- •24 Смешанное произведение векторов.
- •25 Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.
20 Скалярное произведение на плоскости в аффинных координатах.
Пусть на плоскости введен произвольный аффинный базис . Введем следующие обозначения для скалярных квадратов базисных векторов и самого скалярного произведения данных векторов: Из свойств скалярного произведения следует, что . Совокупность чисел будем называть метрическими коэффициентами базиса .
Наряду с базисом рассмотрим еще базис .
Определение 20.1. Базисы и называются взаимными, если
В случае двумерного векторного подпространства (множества векторов параллельных некоторой плоскости) взаимные базисы допускают простую геометрическую интерпретацию. Другими словами, можно указать способ построения взаимного базиса к заданному. Действительно, пусть --- данный базис. Тогда вектор перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором , и, аналогично, перпендикулярен вектору и образует острый угол с вектором . Длины векторов определятся условием .
Точно так же определим метрические коэффициенты базиса .
Рассмотрим произвольный вектор плоскости и разложим его по векторам и . Получим
Определение 20.2. Коэффициенты называются контравариантными координатами , а --- ковариантными координатами вектора в базисе .
Рассмотрим теперь два вектора и , разложим их по векторам , а также по векторам :
Используя данные представления векторов и , вычислим их скалярное произведение четырьмя способами:
Мы видим, что удобнее всего находить скалярное произведение двух векторов, если один вектор задан ковариантными, а другой контравариантными координатами. Установим связь контравариантных координат с ковариантными координатами одного и того же вектора . Из соотношения находим
или
или короче
Аналогично находим
Установим связь между взаимными базисами. Для этого разложим базисные векторы по векторам :
Умножая скалярно обе части первого из этих соотношений на и , получим
и аналогично из второго соотношения
Мы приходим к формулам:
Подобным образом выводится соотношение
Найдем теперь формулы для вычисления метрических коэффициентов взаимного базиса, по известным метрическим коэффициентам исходного базиса. Для этого распишем формулы подробно. Получаем:
Умножая скалярно обе части каждого из этих соотношений на и , получим
Используя ранее введенные обозначения и определение взаимных базисов, приходим к следующей системе линейных уравнений относительно неизвестных
Решая эту систему приходим к следующим выражениям для метрических коэффициентов взаимного базиса с учетом, что и
где .
21 Ориентация плоскости и пространства.
Для простоты вычислений рассмотрим подробно как определяется ориентация плоскости. Пусть --- множество всех векторов, параллельных плоскости, т.е. двумерное подпространство пространства . Как известно, любые два неколлинеарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :
Из координат векторов и можно составить матрицу второго порядка:
Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, а координаты вектора --- второй столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису .
Определение 21.1. Число называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:
Так как векторы и линейно независимы, то из следствия о координатах коллинеарных векторов получаем, что . Рассмотрим некоторые свойства определителей матрицы перехода от одного базиса к другому. 1. Для любого базиса имеем .
В самом деле, поэтому
2. Для любых трех базисов справедливо равенство
Пусть . Подставив в правые части этих формул вместо и их разложения по формулам , будем иметь:
Отсюда получаем определитель матрицы перехода от базиса к базису :
поскольку определитель матрицы перехода от базиса к базису имеет вид:
3. Для любых базисов справедливо равенство
Действительно, если в равенстве положить и воспользоваться свойством 1., то получим требуемое.
Обозначим через множество всех базисов подпространства . Будем говорить, что базисы находятся в отношении ( одинаково ориентированы), если , записываем так . Докажем, что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов подпространства . Для этого необходимо проверить, что отношение удовлетворяет свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности.
1.рефлексивность. Для произвольного базиса по свойству 1 имеем:
2.симметричность. Пусть . Но из свойства 3 следует, что
3. транзитивность. Непосредственно следует из свойства 2.
Докажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы и $\bar A=\{\vec a_2;\vec a_1\}$ . Так как то классы эквивалентности и различны. Легко убедиться, что любой базис принадлежит либо классу , либо классу . В самом деле, по свойству 2 . Но , поэтому , отсюда либо , либо .
Каждый из элементов фактор-множества называется ориентацией векторного подпространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной ( а другую - отрицательной). Векторное подпространство, в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называют правыми базисами, а базисы отрицательной ориентации - левыми.
Аналогичным образом определяется ориентация векторного пространства . А именно,как известно, любые три некомпланарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса :
Из координат векторов и можно составить матрицу третьего порядка:
Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора --- второй столбец, а координаты вектора --- третий столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису . Определение 21.2. Число
называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так:
Так как векторы и линейно независимы, то можно показать, что .
Точно так же проверяются свойства определителей матриц перехода и доказывается, что существуют всего две различные ориентации векторного пространства . В дальнейшем будем считать, что векторное пространство ориентировано и положительную ориентацию определяет правая тройка векторов.
Определение 21.3. Тройка некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден из конца третьего совершающимся против (по) часовой стрелке, при условии, что векторы приведены к общему началу.