Введение

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.). Система с распределенными параметрами (СРП) - это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени. Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.

Цель курсовой работы – расчет статической и динамической характеристик. В данной работе решается вопрос построения математической модели элемента, моделирование на микроуровне, деформационного мембранного дифманометра на основе теории распределенных сигналов, а также моделирование на макроуровне, нахождение статической и динамической характеристик гидропривода.

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МИКРО УРОВНЕ

1.1 Датчик температуры на основе термопары

Рисунок 1 – Общий вид датчика температуры на основе термопары

Данный тип датчиков широко применяется для измерения температуры в технологических зонах или внутри работающих агрегатов, т.к. отличаются надежностью и долговечностью, хотя и имеют недостатки в точности и немедленной реакции датчика на изменение температуры. Ниже приводятся некоторые данные конкретного датчика, выбранного для данного курсового проекта.

Преобразователь предназначен для измерения температуры газов и паров. Может быть использован для измерения температуры в ТВД и в ТНД турбоагрегатов типа ГТК 10-4 или аналогичных на газоперекачивающих станциях и измерения температуры перегретого пара в теплоэлектроцентралях.

Скорость потока газа (воздуха) не должна превышать 170 м/с, водяного пара - не более 50 м/с.

Условное давление измеряемой среды должно быть не более 16 МПа. Измеряемый диапазон температур от -40°С до 900°С (для градуировки К).

Температура окружающей среды должна быть от -50°С до 200°С.

Виброустойчивы при воздействии синусоидальной вибрации с частотой от 10 до 150 Гц и ускорении до 49 м/c² .

Срок службы вилки специального разъема не менее 25000 часов при температуре окружающей среды 200°С.

1.2 Выбор уравнения и его идентификация

Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.).

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.

Функция состояния Q(x,t) объекта СРП (ОРП), определяемая по пространственной переменной замкнутой области удовлетворяет уравнению:

(1)

где - открытая часть области D, не содержащая границы;

L – некоторый заданный оператор (линейная функция Q, в частных производных Q(x,t) различных порядков, интегральный оператор от Q(x,t).

Конечной задачей решения уравнения СРП является нахождение величины переменной состояния ОРП Q(x,t) в любой момент времени (t>0) в точке X.

Колебания температуры в термопаре описываются волновым уравнением, моделирующим процессы распространения температуры по термопаре:

^{; ; ; ,} (2)

где x –пространственная координата, измеряемая вдоль термопары, м;

Q(x,t) – отклонение температуры от установившегося состояния, °С;

a – коэффициент теплопроводности, м²/с;

f(x,t) –тепловой поток , f(x,t)=200*e^-200t, °С /с;

x₀ и x₁ – начальная и конечная точки термопары, м.

Коэффициент температуропроводности термопары находится:

, ⁽³⁾

где к – коэффициент теплопроводности, °С/м (примем к= 1°С/м );

- плотность материала термопары , кг/м³ (примем = 21,45*10³ кг/м³)

с – удельная теплоемкость материала термопары, дж/кг*°С

(примем с= 1200 дж/кг*°С );

Подставив значения, получаем значение коэффициента температуропроводности: а=0,226 м²/с.

Для того, чтобы Q(x,t) было однозначно определено в любой точке термопары и в любой момент времени, необходимо задать граничные условия на концах термопары и начальные условия в момент времени t=0.

Определим граничные условия на концах термопары длиной l=0.25м. Один конец в постоянный условиях нулевой температуры, а температура другого колеблется по заданному закону входного воздействия:

⁼, t>0 (5)

Начальные условия нулевые – в начальный момент времени температура нулевая:

^{N[Q(x,t)]=, (6)}

1.3 Расчет статической характеристики

Уравнение вида (1) с начальными и граничными условиями практически не разрешимо. Для его решения вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи. Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия.

(7)

где (x, t) – стандартизующая функция.

Функцией, описывающей реакцию самой системы, является функция Грина . Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу:

^{, при} , (8)

где - пространственная  - функция.

-  - функция по времени;

 – координаты входного возмущения;

x - координаты точки отклика от удара.

Зная стандартизирующую функцию и функцию Грина, можно найти выходную функцию по следующему выражению:

⁽⁹⁾

Запишем стандартизирующую функцию и функцию Грина G() на основании выбранного уравнения, начальных условий и входного воздействия по справочным материалам [1]:

,

, t>0, (10)

где g₁ и g₂ – граничные условия рассматриваемой системы

Принимая во внимание что Q₀(x,t) и g₁(x,t) имеют нулевые значения, то уравнение (10) примет вид:

⁽¹¹⁾

Выходная величина Q(x,t) находится как пространственно временная композиция от произведения функции Грина G() на стандартизирующую функцию :

⁽¹²⁾

Подставим функцию Грина и вынесем сумму из-под интегралов:

⁽¹³⁾

Вынесем из-под пространственного интеграла члены, не зависящие от ξ:

(14)

И получим:

(15)

Разберем оставшиеся интегралы отдельно:

(16)

В итоге получим:

(17)

Выражение (17) является выходной функцией и статической характеристикой распространения температуры.

Для построения статической характеристики воспользуемся программой MathCad:

Рисунок 2 – Статическая характеристика датчика