2.4.2 Результаты статического анализа.
Программа для расчета фазовых координат при статическом процессе в математическом пакете MathCad 13 приведена в приложении 1. Индексы массивов для простоты начинаются с 1. Для достаточной точности применяется 5 итераций. Результаты вычислений приведены в таблице 5.
Таблица 5 – Результаты статического анализа
|
Фазовая коорд. |
при Qн=100*10-6 м3/с |
при Qн=200*10-6 м3/с |
|
Q1, 10-5 м3/с |
-15.28 |
7.072 |
|
Q2, 10-5 м3/с |
4.672 |
8.412 |
|
Q3, 10-5 м3/с |
-73.08 |
-68.62 |
|
Pу1, 10-3 Па |
-5.7022 |
-4.43759 |
|
Pнасоса, 104 Па |
9.573 |
10.15 |
2.5 Анализ динамической модели гидросистемы
Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, получающаяся из выражения (28), имеет вид:
(47)
где А – матрица Якоби,
- вектор фазовых
координат,
- вектор-функции
внешних воздействий,
- вектор функции
внешних воздействий.
Для динамической модели матрицу Якоби можно сформировать на основе (28) и (32), аналогично статической модели:
(48)
Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (47), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.
Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:
(49)
где u0 и uk – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), которая в нашем случае имеет вид:
(50)
Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).
(51)
Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V0 в состояние Vk. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера.
2.5.1 Выбор шага интегрирования. Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:
, (52)
где
- собственное значение матрицы Якоби.
Для комплексного
значения
условие имеет вид:
(53)
Собственными
значениями матрицы Якоби порядка n
называют корни
,
где
,
ее характеристического уравнения,
определяемого по формуле:
(54)
где А – матрица Якоби динамической модели;
Е – единичная матрица.
Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (48), подставляя начальные значения фазовых координат:
(55)
Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
(56)
Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad 13, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:
(57)
Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5 с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.
Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5с обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.