1.3 Расчет динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции , которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из нее входным воздействием. Так как стандартизирующая функция не содержит входное воздействие f(x,t):

; (5)

; (6)

. (7)

Интегральную передаточную функцию представим в виде:

(8)

Подставим в выражение исходные данные и найдем интегральную передаточную функцию в точке х=1, ограничив количество членов ряда до 5:

При замене р на jω получим выражение для частотной передаточной функции:

Выделим действительную и мнимую части

Найдем ЛАЧХ по выражению:

. (9)

Для построения характеристики используем программу MathCad:

+20 дб/дек

-20 дб/дек

Рисунок 4 – График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируя полученную ЛАЧХ ее стандартными типовыми наклонами получаем +20 дб/дек и -20 дб/дек, что соответствует апериодическому и интегрирующему звену с собственной частотой . Тогда передаточная функция будет иметь вид:

(10)

График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке -8, тогда усиление равно:

20lgk = -8, откуда k=10^-8/20=0,4 (11)

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

(12)

1.4 Моделирование стержня в среде Elcut

Смоделируем колебание струны при граничных условиях g₁=4·sin(0,05t), g₂=0. Построим двумерную модель стержня в виде прямоугольника длиной l=1м и высотой h=0,5 м, зададим значения граничных условий на ребрах модели и выберем свойства материала стержня (сталь 20). Решение задачи получим в виде цветовой шкалы.

Рисунок 5 – Моделирование колебания струны от начального положения

2 Моделирование на макроуровне

2.1 Исходные данные

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 4. В системе используется в качестве рабочей жидкости вверенное масло АУ. Материал трубопровода – сталь. Основные параметры системы и жидкости приведены в таблице 1. Параметры трубопроводов приведены в таблице 2.

P_B2

P_B3

Qн1

Qн2

P_B1

Рисунок 6 – Схема гидравлической системы

1, 2, 3 - магистрали потребителей; P_B1, P_B2, P_B3 - давление потребителей; Q_H1 ,Q_H1 – насосы.

Таблица 1 – Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м^3
	Вязкость	0,15·10^-4 м^2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1,7·10^8 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	9·10^10 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0,028
	Толщина стенки трубопровода	3·10^-4 м

^{Таблица 2 – Параметры трубопроводов}

^Параметр	^Обозначение	^Номер трубопровода
		^1	^2	^3	^4	^5
^Диаметр трубопровода	^dтр^, м	^0,015	^0,15	^0,01	^0,02	^0,015
^Длина трубопровода	^l^,м	^1,5	^1	^2	^0,55	^0,5
^Коэффициент местных сопротивлений	^ξ	^5	^3	^5,5	^2	^1,5
^Давление потребителей	^P^, ·^10^6^Па	^0,1	^0,15	^0,2	^-	^-

Q_н1 = 500·10^-6 м³/с;

Q_н2 = 0·10^-6 м³/с и 400·10^-6 м³/с.

2.2 Графические формы математической модели гидросистемы.

2.2.1 Динамическая схема. На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы (рисунок 6) строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 7 представлена полученная динамическая модель.

2.2.2 Орграф. На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви – компонентам математической модели.

Рисунок 7 – Динамическая модель гидравлической системы

Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей – наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 8 представлен полученный орграф.

2.2.3 Матрица инциденций. Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру связей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов – числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и

С₁

С₁

С₁

2

С₁

m₂

Pв₁ Pв₂ 3

1 µ₂ µ₃ С₁

С₁ m₁ m₃

µ₁ Рв₃

µ₄ µ₅

4 5

Рн₁ Рн₂

Рисунок 8 – Ориентированный граф гидравлической системы

ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел – «1», если выходит – «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 3:

А=[A_И, А_Д, А_У, А_В] (13)

Таблица 3 – Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Диссипативные узлы					Упругие	Внешнее воздействие
	µ1	µ2	µ3	µ4	µ5	С1	Рв1	Рв2	Рв3	Рн1	Рн2
1	-1	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0
2	0	-1	0	0	0	1	0	-1	0	0	0
3	0	0	-1	0	0	1	0	0	-1	0	0
4	0	0	0	-1	0	-1	0	0	0	1	0
5	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1
	Ав					Ау	Ад

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы

Из матрицы инциденций можно получить систему равнений (24), математически описывающие функционирование гидравлической системы:

(14) где ;

А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций;

- векторы давлений;

- векторы расходов,

m, с, - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид:

(15) Так как в исходной системе насосы постоянной производительности Q_н1=const, Q_н1= const, то =0 , =0 .Тогда четвертое и пятое уравнение (15) преобразуется к виду:

P_н1 = P_Д5 + P_У1

P_н1 = P_Д5 + P_У1 (16)

Комплексные уравнения диссипативных элементов носят более сложный характер, при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистралях и уравнения, запишется в следующем виде:

(17)

где, коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий линейные потери при ламинарном режиме движения жидкости;

коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий нелинейные потери при турбулентном режиме, по длине и местные.

Таким образом, математическая модель рассматриваемой гидросистемы представляется системой пяти дифференциальных уравнений и шестью алгебраическими выражениями.

Вычисление параметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

-площадь сечения трубопровода, м²:

; (18)

-коэффициент линейных потерь, H·с/м⁵;

; (19)

-коэффициент нелинейных потерь, H·с/м⁵.

; (20)

-коэффициент жесткости участка:

; (21)

где - доля объема трубопровода;

-объем трубопровода, м³:

V_тр=S_тр·l . (22) Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдельного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

(23)

где - объема трубопровода i-ого участка, м³.

Коэффициент жесткости упругого элемента:

. (24)

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость упругого элемента c₁= 8,147·10¹¹ Н/м⁵.

Коэффициент массы:

. (25)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3	4	5
Площадь сечения трубопровода, Sтр, ·10^-4м^2	1,767	1,767	78,54	3,142	1,767
Объем трубопровода, Vтр,·10^-4м^3	2,651	1,767	1,571	1,728	88,36
Доля объема трубопровода,	0,308	0,205	0,183	0,201	0,103
Коэффициент массы, mг,·10^6кг/м^4	7,3	4,867	2,19	1,506	2,433
Коэффициент линейных потерь,,·10^6H·с/м^5	15.61	10.41	105.4	1.812	5.205
Коэффициент нелинейных потерь,,·10^10H·с/м^5	10,74	6,7	77	1,207	3,35
Коэффициент жесткости участка, cг, ·10^12Н/м^5	1,901	4,278	5,574	4,349	17,11