2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, имеет вид:

(38)

где А – матрица Якоби,

- вектор фазовых координат,

- вектор-функции внешних воздействий,

- вектор функции внешних воздействий.

С учетом произведенных ранее расчетов, запишем систему дифференциальных уравнений, представляющую динамическую гидросистему:

(39)

Для динамической модели матрицу Якоби можно cформировать аналогично статической модели:

(40)

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (49), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

(41)

где u₀ и u_k – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), причем u₀ и u_k – const, (u₀ ≠ u_k):

(42)

Начальные (46) и конечные (47) значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

=> (43)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий V_k при имеет вид:

(44)

2.5.1 Выбор шага интегрирования.

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

, (45)

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

(46)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни λ_k, где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

(47)

где А – матрица Якоби динамической модели;

Е – единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (40), подставляя начальные значения фазовых координат:

(48)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

(49)

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

(50)

Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

>1

При λ=0: =1;

>1

Приλ=-2,3: =2,155

>1

При λ= -6.67·10^-2: =1.03

>1

При λ= -3.08·10^-7: =1.00054

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.