2.4 Расчет статической модели гидросистемы

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

– давления к потребителю (Р_В1, P_В2, P_В3),

– подачи или давления насоса Q_н1(P_н1),Q_н2(P_В2)

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

– расход в гидромагистралях,

– давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

(26)

Из (14) и (16) получаем систему для статического режима:

(27)

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, их компонентное уравнение имеет вид:

(28)

Перенесем в правую часть системы внешние воздействия, тогда статическая модель будет иметь вид:

(29)

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции по фазовым координатам системы (Q₁, Q₂,Q₃,Q_н1,Q_н2, P_У1).

(30)

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе (28) имеет вид:

(31)

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

(32)

тогда матрица (32) принимает вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

– выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, Q₃, P_У1), V₀ – нулевой вектор-столбец;

– вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K (k=0, 1, 2 …);

– вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений (17) для статического режима:

(33)

– определение вектора поправок:

. (34)

– определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

. (35)

– проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат при статическом процессе произведен в математическом пакете MathCad.

При Q_H2 = 0*10^-6 м³/с решением является матрица:

(36)

При Q_H2 = 400*10^-6 м³/с решением является матрица:

(37)

Результаты вычислений приведены в таблице 5:

Таблица 5 – Результаты статического анализа

Фазовая координата	при Qн2=0·10^-6, м^3/с	при Qн=400·10^-6, м^3/с
Q1, м^3/с	6,208·10^-^4	6,954·10^-^4
Q2, м^3/с	7,154·10^-^5	3,661·10^-^4
Q3, м^3/с	-1.924·10^-^4	-1,615·10^-^4
Pу1, Па	1,511·10^5	1,628·10^5