Одноканальная система мо с ожиданием

Интенсивность входящего потока , интенсивность обслуживания .

λ – среднее число заявок, поступающих на вход СМО в единицу времени, T₀ = λ^-1 – средний интервал времени между заявками.

 - среднее число заявок, которое обслуживается одним каналом в единицу времени, T_μ = μ^-1 – среднее время обслуживание заявки.

Множество возможных состояний системы: S₀ - канал обслуживания свободен; S₁ - канал обслуживания занят, очереди нет; S_k - канал обслуживания занят, в очереди k-1 заявка (k=2, 3,...,m); S_(m+1) - канал обслуживания занят, в очереди m заявок. Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке.

При исследовании систем массового обслуживания, чаще всего , интересуются предельными вероятностями состояний. Система уравнений для предельных вероятностей:

Уравнение нормировки p_k=1.

Для определения стационарных вероятностей сначала выразим все вероятности, начиная с p₁, через p₀, а затем, воспользовавшись уравнением нормировки, найдем p₀. Введем обозначение =/..

Из первого уравнения p₁=p₀. Из второго уравнения p₂=²p₀. По аналогии вероятность k-го состояния определится как

p_k=^kp₀.

Подставив полученные выражения в нормировочное уравнение, получим

, .

В квадратных скобках - сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем  и числом членов m+1. Следовательно,

,

Показатели эффективности.

Вероятность отказа

.

Относительная пропускная способность q=1-P_отк.

Абсолютная пропускная способность .

Среднее число заявок в системе

.

Среднее число заявок в очереди

С вероятностью р₁=αp₀ в очереди одна заявка, вероятностью р₁=α²p₀ в очереди две заявки и т.д. Математическое ожидание случайной величины, принимающей дискретные значения:

В соответствие с формулой Литтла среднее время пребывания заявки в системе и среднее время ожидания обслуживания определяются как

.

Пример.

Имеется некоторое техническое устройство, которое требует обслуживания в среднем через время равное t₀ часов. Состояние, когда система не требует обслуживания (т.е. находится в работоспособном состоянии) S₀.

Состояние, когда система требует обслуживания S₁.

Это соответствует интенсивности перехода S₀S₁ λ₀₁=1/t₀. на графе состояний.

Потоки всех переходов в примере полагаются простейшими , т.е. плотность распределения времени проведения операции t_i (i=0...4) - экспоненциальная.

После перехода в состояние S₁ производится предварительный осмотр устройства, на который требуется в среднем t₁ часов. В результате предварительного осмотра равновероятно (с вероятностями 1/3) может быть принято одно из трех решений:

- Требуется замена отказавшего элемента, на что тратится в среднем t₂ часов. Вероятность этого решения q₁₂=1/3, ему соответствует переход S₁S₂. Этому соответствует интенсивность перехода

λ₁₂=q₁₂∙

- Требуется замена ряда узлов с последующей регулировкой, на что тратится в среднем t₃ часов. Вероятность этого решения q₁₃=1/3, ему соответствует переход S₁S₃ с интенсивностью

λ₁₃=q₁₃ .

- Требуется обслуживание, регулировка и проведение цикла испытаний, на что тратится в среднем t₄ часов. Вероятность этого решения q₁₄ , ему соответствует переход S₁S₄ с интенсивностью

λ₁₄=q₁₄∙.

Сумма q₁₂+ q₁₃+ q₁₄=1. Отметим, что переходы, вообще говоря, могут оказаться и не равновероятными.

- Из состояний S₂, S₃, S₄ возможны переходы только в состояние S₀, Следовательно,

₂₀=1/t₂, ₃₀=1/t₃, ₄₀=1/t₄.

Требуется определить среднее время пребывания системы в работоспособном состоянии, т.е. в состоянии (S₀).

Это типичная ситуация, возникающая в процессе эксплуатации сложных систем. Возможны ситуации с иным числом вариантов обслуживания.