- •Взаимосвязь уравнений прямой на плоскости.
- •1. Точка
- •2. Прямая на плоскости
- •2. Уравнения плоскости
- •Неполные уравнения плоскости
- •3. Уравнения прямой в пространстве.
- •4. Двумерные преобразования в декартовых координатах.
- •5. Двумерные преобразования в однородных координатах.
- •6. Трехмерные преобразования.
- •7. Трехмерные системы координат.
- •8. Параллельные проекции.
- •9. Алгоритмы рисования линий.
- •10. Рисование фракталов.
- •Классификация фракталов
- •1. Геометрические фракталы
- •2. Алгебраические фракталы
- •3. Стохастические фракталы
- •Системы итерируемых функций
3. Уравнения прямой в пространстве.
Понятие пространственной прямой связано с понятием плоскости. Например, прямой является линия пересечения двух плоскостей (аксиома стереометрии). Рассмотрим способы описания прямой.
Способ 1. Общее уравнение прямой представляет собой систему из двух уравнений пересекающихся плоскостей:
Способ 2. Через точку можно построить прямую параллельно некоторому вектору . В этом случае уравнение называется каноническим и имеет вид:
и является условием коллинеарности двух векторов:
Если направляющий вектор перпендикулярен какой-либо координатной оси, то соответствующая координата вектора равна нулю. Запись канонического уравнения является символической, и деление на ноль не требуется.
Началом вектора является известная по условию точка искомой прямой L, а концом - произвольная точка этой прямой.
По этому же способу можно построить каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и . Для этого в предыдущем построении достаточно принять или, что то же самое, . В итоге получим:
.
Переход от общих уравнений к каноническим требует некоторого усилия. Рассмотрим идею такого перехода. Параметры системы уравнений
представляют собой два вектора и , перпендикулярных к обеим плоскостям. Очевидно, что векторы и перпендикулярны и прямой, лежащей на пересечении этих плоскостей. Найдем вектор , который перпендикулярен векторам и . Самый простой способ – это построить их векторное произведение :
Отсюда вытекает:
.
Найдем точку , через которую проходит прямая. Очевидно, что эта точка должна лежать на пересечении плоскостей. Поэтому запишем:
Для определения трех неизвестных имеем всего два уравнения. Здесь можно поступить следующим простым способом.
-
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 2.
-
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 3.
-
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, искомая прямая не существует, например, исходные плоскости не пересекаются.
Из канонического уравнения можно получить параметрическое уравнение прямой, приравнивая каждую дробь в отдельности некоему параметру t. Затем из этих трех равенств выражают координаты (x,y,z) точек описываемой прямой:
Пример. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1;-1;2) параллельно вектору . Видим, что вектор перпендикулярен координатной оси Ox.
Канонические уравнения искомой прямой имеют вид:
.
Здесь запись нуля в знаменателе считается допустимой, так как это символическая запись. Получим общие уравнения прямой:
или
По сути, это уравнение прямой , лежащей на плоскости x=1.
Параметрические уравнения этой прямой имеют вид: